avr 182012
 

Dernièrement, une étudiante en master m'a contacté pour m'interviewer dans le cadre de son mémoire de fin d'étude sur la communication scientifique. J'ai répondu à ses questions avec un grand plaisir. Ci-après, la reproduction, avec l'aimable autorisation de l'étudiante, de l'interview, dans son intégralité. Un grand merci à Marie S pour sa curiosité et l'intérêt manifesté pour "Goutte de science".


Votre parcours

  1. Pouvez-vous me décrire votre parcours scolaire ?

A l’issue de mes années de lycée, j’ai intégré le lycée Montaigne de Bordeaux en classe préparatoire MPSI/MP. Deux années difficiles mais enrichissantes qui m’ont ouvert les portes d’une école d’ingénieur du campus universitaire de Talence, en modélisation mathématiques et  mécanique : MATMECA, qui a aujourd’hui fusionné avec l’ENSEIRB. Trois années plus tard, je sortais de l’école, diplôme d’ingénieur en poche, avec une équivalence en master de recherche en mathématiques appliquées, direction Toulouse, à l’ONERA (Office Nationale des Etudes et Recherches en Aérospatiale) pour y effectuer une thèse de doctorat. J’ai soutenu ma thèse et obtenu le titre de docteur ès dynamique des fluides en 2008.

  1. On sait que qu’un certain nombre d’étudiants choisissent d’intégrer une filière scientifique parce qu’ils sont poussés par la famille, les proches.
    Ils y sont par défaut, ils sont entrés dans la filière plus pour le caractère prestigieux et d’excellence de la matière que pour les sciences en elles même.
    Vous avez côtoyé des étudiants en filière scientifiques, pouvez-vous confirmer ce propos ?

Vous semblez savoir quelque chose que j’ignore ou qui, d’après mon expérience, n’est pas pas aussi tranché. De mon expérience, entre les élèves qui choisissent la filière scientifique par goût et ceux qui le font par défaut, toute la palette des raisons et motivations diverses sont assez bien représentées, dans des proportions que j’ignore totalement. Il doit y avoir des études sérieuses de l’INSEE qui donnent ces chiffres. Ce qui est certain, c’est que les filières scientifiques ont la réputation d’ouvrir plus de voies après le bac que les filières littéraires, à mon grand regret d’ailleurs puisque tout le monde n’est pas fait pour faire des sciences et que la société a autant besoin de scientifiques que de littéraires, aussi bien que d’intellectuels que de manuels (ou les deux ne même temps !) pour continuer à tourner correctement…

  1. Comment avez-vous commencé votre carrière professionnelle ?

Après quelques années d’errance à la recherche de ma place professionnelle (je suis passé par l’industrie chez AIRBUS, la recherche en post-doctorat à l’ISAE, puis une tentative dans le commerce de produits bio), je reviens aujourd’hui à mes premières amours : l’enseignement des mathématiques, activité que j’exerce en cours particuliers à domicile depuis plus de 10 ans. Ma carrière professionnelle en tant qu’enseignant/formateur en mathématiques commence donc bientôt je l’espère !

  1. Quels étaient vos motivations ?

Le déclic a eu lieu en deuxième année de prépa. En binômes, nous devions préparer ce que l’on appelait à l’époque des TIPE (Travail d’Initiative Personnel Encadré). Il s’agissait de faire un exposé sur un sujet de notre choix dans le domaine des mathématiques ou de la physique. Avec une amie, nous avions choisi de traiter « l’hypercube » (le cube dans un espace à 4 dimensions). Je me rappelle d’avoir commencé l’exposé, d’être rentré dans un tunnel puis d’en être ressorti 30 minutes plus tard avec la sensation d’avoir été exactement à ma place. Mon premier "kif" de prof, en somme. C’est à ce moment-là que j’ai su que je devais être enseignant. Cette expérience s’est répétée à plusieurs reprises tout au long de ma vie professionnelle et personnelle. En cours particuliers, j’ai aussi découvert que je pouvais transmettre autre chose que de simples savoirs techniques : des conseils méthodologiques, des comportements à adopter et quelques clés pour réussir dans ses études. Il m’a fallu plusieurs années pour que mon projet mûrisse et que je parvienne à déterminer dans quel cadre je voulais faire de l’enseignement. Rebuté par l’éducation nationale, j’ai décidé aujourd’hui de faire ma place dans des structures à taille humaine en relation avec le monde professionnel.

Le blog « Goutte de science »

  1. Quand l’avez-vous créé ? Quel est le concept ?

La genèse de « Goutte de science » a pris du temps. En 2006, j’ai créé un blog personnel, une sorte de fourre-tout scientifique, informatique, littéraire... Il était destiné prioritairement à mes amis proches. C’est dans ce cadre-là que j’ai commencé la série « Ma thèse expliquée à Mamie ». Le premier article de la série est paru en novembre 2006, le dernier en mai 2008. Tout au long des 12 épisodes, j’explique à une grand-mère imaginaire l’objectif de mes travaux de thèse. Ma « vraie » grand-mère, ses doigts tordus agrippés à la souris de l’ordinateur de la cuisine, a suivi la série avec assiduité depuis son petit village de Charente-Maritime ! Depuis 2006, le blog a beaucoup évolué. Le concept « goutte de science » est né en 2008 alors que je cherchais à rendre ce blog plus lisible et à améliorer son audience. Je voulais en faire un site de vulgarisation scientifique en traitant divers sujets de mon domaine de compétence de manière originale et décalée. La « goutte » revêt une double symbolique. Premièrement, à travers l’eau, il symbolise mon domaine d’expertise, la mécanique des fluides. Deuxièmement, la goutte représente l’atome des connaissances. Composant infinitésimal mais néanmoins indispensable à la construction de plus grands savoirs. C’est de l’addition de ces petites gouttes de savoirs que naissent l’océan des connaissances. Il a connu une dernière évolution en 2011 pour rendre la ligne éditoriale encore plus lisible. La « goutte » prend aujourd’hui une troisième symbolique, celle de l’alchimie entre les mathématiques, les sciences physiques et la transmission décomplexée de savoirs : une tranche de maths et une pincée de physique transmises dans la bonne humeur.

  1. A-t-il une bonne audience ?

Le travail d’animation et de référencement est une activité très chronophage. Je manque en ce moment de temps pour le faire vivre. Néanmoins, le blog a un lectorat assez fidèle et de nombreux lecteurs occasionnels : autour de 2000 visites par mois, soit entre 65 et 70 visites par jour. Depuis 2011, vous pouvez retrouver « goutte de science » sur facebook (https://www.facebook.com/pages/Goutte-de-science/171258502938689) ainsi que sur twitter (https://twitter.com/#!/GoutteDeScience).

  1. Pensez-vous que la science serait plus appréciée si elle était présentée à la manière dont vous le faite sur votre blog ?

« Il faut de tout pour faire un monde », des gens qui aiment les sciences et d’autres qui ne l’aiment pas, c’est une question de sensibilité personnelle qu’on doit respecter. Pour autant, je ne crois pas que la science ne soit pas appréciée. Elle a peut-être le défaut d’être perçue comme un ensemble de connaissances réservées à une élite intellectuelle. Perception dont elle est en partie responsable, probablement, non pas à cause d’un manque de vulgarisation (il suffit de regarder le nombre de revues, d’émissions ou de sites internet parlant de sciences…), mais à une position qu’elle s’est donnée : inaccessible, voire condescendante, complexante pour qui ne partage par le savoir des experts. Mais il en va de même de la psychanalyse, de la paléontologie, de la sociologie, de l’économie… Il est évident que tout le monde ne peut pas être un expert dans tous les domaines et qu’à un certain niveau de connaissance et de technicité, même ceux dotés d’une intelligence intellectuelle hors-pair peuvent se sentir largués. Socrate, le père de la philosophie, parcourant les rues d’Athènes et parlant à qui voulait bien l’écouter, pensait que le pire des maux est l’ignorance. Je considère que Socrate a en partie raison (les malheurs que vit l’humanité aujourd’hui a selon moi d’autres origines, mais c’est un autre débat), et la communauté scientifique (quel que soit le domaine) a un devoir de transmettre les connaissances au plus grand nombre. Cependant, tout le monde n’a pas de talent de vulgarisateur ni la fibre de la transmission ou encore moins le temps de s’adonner à cette activité. Je ne suis pas le seul à transmettre la science de cette manière et je suis très loin de le faire aussi bien que certains confrères. Grâce à ces initiatives, j’espère que l’idée fera son chemin que la science et les mathématiques ne sont pas réservées à une élite et que le commun des mortels peut très bien avoir du plaisir à s’y intéresser.

Votre perception

  1. Comment peut-on démocratiser la science selon vous ? (pour qu’elle ne soit pas seulement réservée à une élite, mais qu’elle puisse être comprise par tous)

Je n’ai pas de réponse définitive à cette question, car tout le monde n’est pas sensible aux mêmes canaux de communication. Certains apprécieront la rigueur d’un exposé théorique, d’autres préfèreront mettre directement « les mains dans le cambouis », etc. De mon côté, j’essaye la voie décomplexée de l’autodérision et de l’humour. Par ailleurs, les nouvelles technologies de l’information ont probablement un rôle décisif à jouer dans la démocratisation des sciences. Cela dépend aussi de ce qu’on entend par « sciences ». Il y a certainement un socle d’idées communes et de concepts accessibles à tous (dont les contours sont très flous) que la communauté scientifique a le devoir de vulgariser. Ceci étant, soyons réaliste, comme je l’évoquais précédemment, à partir d’un certain niveau, sans être réservée à une élite, la science n’est plus accessible à tous. Ce constat est valable pour tous les domaines de connaissances et qu’il faut accepter sans jugement de valeur. Je veux dire par là que l’intelligence intellectuelle n’est pas l’unique facteur qui fait la valeur d’un homme ou d’une femme. Il ne faut pas se complexer et se croire nul si on ne comprend rien à la théorie de l’intégration de Lebesgue à la méthode des éléments finis ou aux équations de Navier-Stokes. La société actuelle considère que l’intelligence intellectuelle prévaut sur toutes les autres formes d’intelligence. Je me porte en faux de cette conception. L’intelligence intellectuelle doit être un outil au service de l’humanité et non un vecteur de hiérarchisation des Hommes.

  1. Est-il possible de lutter contre les stéréotypes sur les sciences ? (Auprès des jeunes qui voient la discipline très complexes sans intérêt pour la vie quotidienne, hermétique, et au près du grand public qui fait preuve de méfiance envers la science notamment à cause des crises sanitaires que nous avons subi ces 30 dernières années)

Je pense que cela est possible au collège et au lycée oui. Difficile et nécessairement long, mais possible. L’enseignement des mathématiques notamment mériterait d’être revu en essayant de le raccrocher à des applications réelles. Ceci dit, ce n’est pas toujours possible pour différentes raisons.

Premièrement, certaines notions mathématiques sont uniquement des outils préalables à la mise en place d’autres concepts qui en découlent. Un peu comme le solfège est le préalable à la lecture et à l’écriture de la musique, ou l’apprentissage du code de la route le préalable à la conduite d’une voiture. S’il est impossible de le raccrocher à une situation réelle, il est quasiment toujours possible de créer une situation pédagogique ludique (une analogie, un jeu, …) pour y donner de la vie et de l’intérêt. Je vous donne un exemple. En mathématiques, la trigonométrie est souvent la bête noire des lycéens. Lors de mes cours, je commence par leur dire qu’on va développer la trigonométrie pour pouvoir « se la jouer » lorsque qu’on coupe un gâteau. En effet, grâce à la trigonométrie on pourra aisément couper un gâteau en 6, voire en 5, 7, 9 ou 11 parts rigoureusement identiques. Certes, l’intérêt est discutable, mais avec un peu de second-degré et d’autodérision, les élèves jouent le jeu. On rapproche ainsi une notion abstraite à un problème ludique et concret. Ainsi, après ce cours, à chaque gâteau coupé, mes élèves repenseront à leurs formules de trigonométrie avec un sourire espiègle aux lèvres. Le plaisir et l’épanouissement sont deux vecteurs importants de la motivation à apprendre.

Deuxièmement, je crois que les enseignants, en tout cas dans l’éducation nationale, manquent de liberté d’action et d’espace de créativité pour mettre en place des situations pédagogiques pertinentes. Je ne parle pas forcément des moyens mis à disposition, mais surtout d’un moule idéologique et administratif qui étouffe cette liberté d’action et cette créativité. C’est donc tout le système éducatif qu’il faudrait réformer, d’où la difficulté et la lenteur inévitable…

Concernant le grand public, c’est beaucoup plus compliqué étant donné la largeur du spectre des sensibilités et des individualités. Je ne pense pas qu’il y ait de recettes miracles. Il faut jouer la carte de la diversité pour que chacun puisse y trouver son compte.

Quel que soit le domaine, le meilleur moyen pour lutter contre les stéréotypes est de garder l’esprit ouvert et de se méfier des préjugés, de toutes les idées préconçues dont nous sommes abreuvés quotidiennement. En ce sens-là, Socrate avait raison lorsqu’il prétendait ne savoir qu’une chose, c’est qu’il ne savait rien ! Par cet aphorisme, il voulait simplement mettre en garde les Athéniens contre les idées préconçues qui sont l’ennemi de la véritable connaissance, celle du monde et de soi-même.

  1.  Si vous deviez promouvoir la science auprès des profanes, capter leur attention sans les rebuter, quelle serait la première action que vous mettriez en place ?

Laissez-moi réfléchir… je pense que mettrai en place un blog qui s’appellerait « goutte de science », et qui aurait pour slogan : « un tranche de maths, une pincée de physique et une dose de bonne humeur » :)

  1.  D’après vous, les médias diffusent-ils suffisamment d’informations scientifiques (découvertes, recherches, etc.) ? Et d’autre part, la vulgarisent-ils assez bien ?

Je pense que oui. On trouve aujourd'hui de très bonnes sources d’informations et de vulgarisation. Dans le domaine télévisé je pense notamment à l’émission « c’est pas sorcier » qui est une référence absolue en matière de vulgarisation scientifique, ou l’ancien dessin animé « l’histoire de la vie ». Dans les kiosques, il y a les excellentes revues « Pour la science » ou « science et avenir ». Dans les librairies, on peut citer « Les mathématiques expliquées à mes filles », de Denis Guedj, où « ça y est, je suis fou » de Raymond Smullyan. Sur internet de nombreux scientifiques font des travaux remarquables, je pense en particulier au site « science étonnante » (http://sciencetonnante.wordpress.com/) de D. Louapre, le blog « choux romanesco, ou le blog vache qui rit et intégrales curvilignes » (http://eljjdx.canalblog.com/). Il y en a tellement que je ne peux tous les citer ici !

Le problème n’est peut-être pas dans la quantité d’information diffusée ni dans la forme qu’elles revêtent, mais dans le fait qu’elles sont noyées dans la quantité ahurissante d’informations qui circulent. Nous sommes aujourd’hui dans une société de l’hyper-information, et il est parfois difficile de s’y retrouver. Les choses intéressantes (et cela vaut pour les sciences, comme pour les arts, etc.) sont noyées dans la médiocrité ambiante. Comme disait Coluche, en parlant de musique commerciale : « Quand on pense qu'il suffirait que les gens ne les achètent pas pour que ça ne se vende plus. » Il en va de même pour le reste. Le public, vous, moi, avons une part de responsabilité dans ce qui nous est proposé. En déplaçant nos actes de consommation, donc nos comportements, de la médiocrité vers le sublime nous aurions peut-être une société radicalement différente, autant sous l’angle de la vulgarisation des sciences que d’un point de vue simplement humain. La démocratisation des sciences est donc autant entre les mains des experts qui ont le devoir de vulgariser leurs savoirs que des consommateurs qui doivent témoigner leur intérêt et leur curiosité !

Merci.

 Posted by at 22 h 08 min
déc 042011
 

 

Récemment, @bouletcorp (je vous recommande en passsant la lecture de son blog : bouletcorp.com), s'est extasié, à juste titre, à la vue de cette image :

C'est beau non ? Alors, c'est quoi le truc ? Explications...

Dissection d'un étage de la pyramide

Commençons par torturer une des équations de la pyramide pour comprendre un peu ce qu'il se passe (accroche-toi Mémé). Considérons le premier membre de la troisième :

123\times 8+3

Etape 1. Ecrivons que 8=10-2 et développons:

123\times 8 +3 = 123\times 10-123\times 2+3

Etape 2. On décompose le terme 2 * 123 en la somme 123+123 :

123\times 8 +3 = 123\times 10-123+3-123

Etape 3. On décompose ensuite le premier 123 en 123=10*12+3

123\times 8 +3=123\times 10-12\times 10-3+3-123

Etape 4. En mettant 10 en facteur sur 1230 et 120, on obtient

123\times 8 +3=(123-12)\times 10-3+3-123

Etape 5. En remarquant que 123-12=111, on trouve :

123\times 8 +3=111\times 10-123

Etape 6. Or, 111*10-123=1110-123=987. D'où finalement

123\times 8 +3=987

Et ça marche tout pareil avec les autres équations de la pyramide. Un autre exemple pour n=5 :

1. 12345\times 8+5=12345\times 10-12345\times 2+5

2. 12345\times 8+5=12345\times 10-12345+5-12345

3. 12345\times 8+5=12345\times 10-1234\times 10-5+5-12345

4. 12345\times 8+5=(12345-1234)\times 10-12345

5. 12345\times 8+5=1111\times 10 - 1234

6. 12345\times 8+5=98765

Lors de chaque étape de calcul, on utilise une propriété élémentaire sur les nombres. Celles utilisées dans les étapes 1, 2 et 4 sont élémentaires. En revanche, les deux dernières le sont moins. L'objectif de ce qui suit est de d'établir une relation générale pour des nombres 12...n et 98...m quelconques, avec n et m compris entre 1 et 9.

Si vous avez décroché à ce moment là de la lecture et que vous souhaitez poursuivre, allez prendre un stimulant, ce qui suit se corse un peu. Prenez de l'eau aussi, ça va devenir aride. Normal, on étudie des pyramides, dans le désert.

Quelques éléments de numération en base 10

Avant de rentrer dans le vif des explications, il faut que je vous parle de numération. La numération c'est quoi ? C'est très simple. "Un système de numération est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer des nombres. Sous leur forme écrite, ces derniers sont nés, en même temps que l'écriture, de la nécessité d'organiser les récoltes, le commerce et la datation (source Wikipédia)."

En gros, ça sert à représenter et manipuler les nombres. Des systèmes de numération, il en existe plusieurs, le plus largement répandu sur Terre (ailleurs, je peux pas dire) est le système décimal. Pourquoi le système décimal ? Parce qu'il présente beaucoup d'avantages, entre autres :

  • Décimal  = 10 = nombre de doigts d'un humain normalement constitué.
  • Les nombres s'écrivent et se manipulent bien dans cette base.
  • Les opérations sur les nombres (addition/soustraction, multiplication/division) sont relativement simple à effectuer. J'en veux pour preuve qu'on les apprend à l'école primaire.

C'est ainsi que derrière des nombres qu'on a l'habitude de manipuler tous les jours se cache un système de numération mathématique en base 10. Concrètement, ça signifie que chaque nombre est décomposé sur un ensemble de nombre, qu'on appelle une base. Dans le cas du système décimal, la base est constituée des puissances de 10 (1, 10, 100, 1000, 10000, ...) : les unités, les dizaines, les centaines, les milliers, etc.

Représenter un nombre en base décimale, c'est donc le décomposer en nombre d'unités, de dizaines, de centaintes, de milliers, etc.

Un exemple pour fixer les idées. Considérons le nombre 1234. Derrière sa représentation se cache la décomposition suivante :

1234 = 1000 + 200 + 30 + 4 = 1 * 1000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 4 *1

1234 = 1 * 103 + 2 * 102 + 3 * 101 + 4 * 100.

  • Le premier chiffre de 1234, le 1, est le facteur de la puissance 3 de 10 dans la décomposition en base 10 : le chiffre des milliers.
  • Le second chiffre de 1234, le 2, est le facteur de la puissance 2 de 10 dans la décomposition en base 10 : le chiffre des centaines.
  • Le troisième chiffre de 1234, le 3, est le facteur de la puissance 1 de 10 dans la décomposition en base 10 : le chiffre des dizaines.
  • Le quatrième chiffre de 1234, le 4, est le facteur de la puissance 0 de 10 dans la décomposition en base 10 : le chiffre des unités.

D'une manière générale, tout nombre à n chiffres s'écrit en base 10 sous la forme :

a_{n-1}\times 10^{n-1}+a_{n-2}\times 10^{n-2}+...+a_1\times 10+a_0=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_k\times 10^{n-k}

Le nombre en question sera constitué des coefficient a_{k}, pour k variant de 0 à n-1 et sera noté formellement \overline{a_{n-1}...a_0}.

Exemple, pour n=4, les coefficients du nombre 1234 en base 10 sont : a_3=1,\;a_2=2,\;a_1=3,\;a_0=4.

Application à la pyramide magique en question

Revenons à notre pyramide de chiffre.

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 9876
123456 x 8 + 6 = 98765
1234567 x 8 + 7 = 987654
12345678 x 8 + 8 = 9876543
123456789 x 8 + 9 = 987654321

En utilisant la numération en base 10, on va généraliser la démarche effectuée dans les deux cas particuliers ci-dessus pour des chiffres  12...n et 98...m quelconques, avec n et m compris entre 1 et 9.

Pour formaliser tout ça, quelques notations s'imposent (c'est à ce moment que Mamie décroche...).

  • Le nombre constitué des n chiffres dans l'ordre croissant de 1 à n sera noté c_n=\overline{12...n}
  • le nombre constitué des m chiffres décroissants de 9 à m sera noté d_m=\overline{98...m}
  • le nombre de n chiffres constitué de n un consécutif sera noté e_n=\overline{1...1}.
Leurs décompositions dans le système décimal est donné par les relations suivantes :
(1) c_n=\overline{12...n}=1\times 10^{n-1}+2\times 10^{n-2}+...+n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k10^{n-k}
(2) d_m=\overline{98...m}=9\times 10^{n-1}+8\times 10^{n-2}+...+m\times 10^{10-m-k}=\displaystyle \sum_{k=1}^{10-m} (10-k)10^{10-m-k}
(3) e_n=\overline{1...10}=10^n-1+10^{n-2}+..+1=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 10^{n-k}
Quelques exemples :
  • c_4 = 1 millier + 2 centaines + 3 dizaines + 4 unités = 1\times 1000+2\times 100+3\times 10+4\times 1 = 1234
  • d_6 = 9 milliers + 8 centaines + 7 dizaines + 6 unités = 9\times 1000 + 8\times 100 + 7\times 10 + 6\times 1 = 9876
  • e_4 = 1 milliers + 1 centaine + 1 dizaine + 1 unité = 1\times 1000+1\times 100+1\times 10+1\times 1 = 1111

Avec ces notations, la n-ième ligne de la pyramide s'écrit :

c_n\times 8 + n=d_{10-n} \quad (E_n)

Par exemple, pour n=4, on a bien c_4 \times 8 +4=d_6 \iff 1234\times 8+4=9876


=== petite pause rafraîchissement ===

Le saviez-vous ? L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus. C'est le milieu de vie de la plupart des êtres vivants. Elle se trouve en général dans son état liquide et possède à température ambiante des propriétés uniques : c’est notamment un solvant efficace pour beaucoup de corps solides trouvés sur Terre — l’eau est quelquefois désignée sous le nom de « solvant universel ».

Astuce : boire de l'eau régulièrement dans le désert permet de ne pas mourir.

=== reprise du programme ===

L'objectif de ce qui suit est de démontrer que l'équation (E_n) est vraie pour n compris entre 1 et 9.

Pour cela, établissons quelques propriétés.

Propriété 1. c_n=10\times c_{n-1}+n.

Preuve : en utilisant la relation (1), on a :

c_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k10^{n-k}

c_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k10^{n-k}+n

c_n=10\times\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k10^{n-1-k}+n

c_n=10\times c_{n-1}+n. ELTEJ1.

Exemple, pour n = 4 : c_4=1234, c_3=123, et on a bien 1234=10*123+4.

Propriété 2. c_n-c_{n-1}=e_n

Preuve : en partant de la relaton (1), en n et en n-1, on a :

c_n-c_{n-1}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k10^{n-k}-\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k10^{n-1-k}

Dans la première somme on extrait le premier terme pour k=1 et dans la seconde somme on fait le changement de variable k\rightarrow k+1. On obtient

c_n-c_{n-1}=10^{n-1}+\displaystyle \sum_{k=2}^{n} k10^{n-k}-\displaystyle \sum_{k=2}^{n} (k-1)10^{n-k}

On regroupe les deux sommes sous la même sommation :

c_n-c_{n-1}=10^{n-1}+\displaystyle \sum_{k=2}^{n} (k-k+1)10^{n-k}

c_n-c_{n-1}=10^{n-1}+\displaystyle \sum_{k=2}^{n}10^{n-k}

c_n-c_{n-1}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}10^{n-k}

Et donc, d'après la relation (2), on a bien :

c_n-c_{n-1}=e_n. ELTEJ.

Exemple, pour n = 4 : c_4=1234, c_3=123, e_3=111, et on a bien 1234-123=111.

Propriété 3. 10e_n-c_n=d_{10-n}

Preuve : d'après la relation (3), on a :

d_{10-n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (10-k)10^{n-k}

d_{10-n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 10\times 10^{n-k}-\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k\times 10^{n-k}

d_{10-n}=10\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 10\times 10^{n-k}-c_n

On effectue le changement d'indice de sommation k\rightarrow n-k. On obtient :

d_{10-n}=10\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 10\times 10^{k}-c_n

Et d'après la relation (3) :

d_{10-n}=10e_n-c_n. ELTEJ.

Exemple, pour n = 4 : d_{10-4}=d_6=9876, e_4=1111, c_4=1234, et on a bien 10*1111-1234=11110-1234=9876.

On a tout ce qu'il faut maintenant pour généraliser ce qu'on a fait au début de l'article. Dans un souci pédagogique, je presente côte à côte la démarche dans le cas particulier n=3, et la même démarche dans le cas général, en suivant les mêmes étapes :

Cas général Cas n = 3
Etape 1. Ecrivons que 8=10-2 et développons :

c_n\times 8 +n = 10c_n - 2c_n + n

Etape 2. On décompose le terme 2c_n en la somme c_n+c_n :

c_n\times 8 +n = 10c_n -c_n + n -c_n

Etape 3. On décompose ensuite le premier c_n en c_n=10\times c_{n-1}+n (propriété 1)

c_n\times 8 +n =10c_n -10c_{n-1} -n - c_n

Etape 4. En mettant 10 en facteur sur 10c_n et 10c_{n-1} 120, on obtient

c_n\times 8 +n = (c_n-c_{n-1})\times 10 - c_n

Etape 5. En remarquant que c_n-c_{n-1}=e_n (propriété 2), on trouve :

c_n\times 8 +n = 10e_n - c_n

Etape 6. Or, 10e_n-c_n=d_{10-n}. D'où finalement

c_n\times 8 +n = d_{10-n}

Etape 1. Ecrivons que 8=10-2 et développons:

123\times 8 + 4 = 123\times 10-123\times 2+4

Etape 2. On décompose le terme 2*123 en la somme 123+123 :

123\times 8 +3 = 123\times 10-123+3-123

Etape 3. On décompose ensuite le premier 123 en 123=10*12+3

123\times 8 +3=123\times 10-12\times 10-3+3-123

Etape 4. En mettant 10 en facteur sur 1230 et 120, on obtient

123\times 8 +3=(123-12)\times 10-3+3-123

Etape 5. En remarquant que 123-12=111, on trouve :

123\times 8 +3=111\times 10-123

Etape 6. Or, 111*10-123=1110-123=987. D'où finalement

123\times 8 +3=987

Et voilà, le mystère de la pyramide magique en base 10 est résolu.

Pour les plus motivés de mes lecteurs : saurez-vous trouver un équivalent en base 2 ou en base 8 ?

  1. Et le tour est joué
 Posted by at 19 h 52 min
nov 032011
 

Le "problème du bourdon" vous connaissez ? C'est un grand classique des problèmes de mathématiques accessible dès le collège.

Voici l'énoncé :

Deux trains roulent l'un vers l'autre sur deux rails parallèles, à la même vitesse. Un bourdon (ou une mouche, ou toute bestiole volante capable de rouler plus vite que des trains...) s'amuse à faire l'aller-retour entre les deux trains. Au début de l'expérience, les trains sont séparés d'une distance donnée. Le but est de calculer la distance parcourue par le bourdon jusqu'à ce les trains se croisent.

Ce qui est étonnant avec ce problème c'est que :
1. un non mathématicien va trouver un raisonnement très simple pour résoudre le problème en trois lignes ;
2. un mathématicien pense tout de suite à un sombre calcul de limite de série...

Et comme, je suis un peu mathématicien sur les bords, je vous propose la résolution compliquée avec une dose de bonne humeur et adaptée avec l'actualité du moment.

Sommaire

Définition du problème | Notations | Analyse du problème | Calcul des instants de rencontres | Calcul de la distance parcourue | Retour au problème initial | Application numérique | Conclusion | Pour aller plus loin

Définition du problème

L'un des trains sera remplacé par le super-héro "Kid Flash" qui a la formidable aptitude de se déplacer à des vitesses proches de la célérité de la lumière. On supposera donc que Kid Flash se déplace à la vitesse c constante, sur une trajectoire rectiligne, d'un point O vers un point A situé à une distance D, à l'autre bout de l'Univers (cf schéma ci-après).

 

Le bourdon sera substitué par un autre super-héro "Jimmy Neutron" à qui je prêterai, à titre exceptionnel dans le contexte de cet article, puisse-t-il me pardonner, la capacité de se déplacer à la vitesse d'un neutrino, supérieure à celle de la lumière si l'on en croit les actualités récentes du CERN. On supposera que Jimmy se déplace à la vitesse c' sur la même ligne reliant le point O au point A.

Kid Flash et Jimmy Neutron partent ensemble du point O.

Ainsi, pendant que le valeureux Kid Flash fait sa promenade à travers l'Univers, l'impétueux Jimmy Neutron effectue des aller-retours entre son collègue et le point A.

L'objectif est de calculer la distance totale parcourue par Jimmy Neutron jusqu'à ce que Kid Flash atteigne son point d'arrivée.

Le problème obtenu est équivalent au problème original avec deux trains et un bourdon, mais les calculs sont plus simples.

Remarque : je sens venir les physiciens relativistes. OUI, je suppose que la mécanique Newtonienne reste valable pour des valeurs de c et c' proches de la célérité de la lumière, et OUI, c'est de la science-fiction.

Passons maintenant aux choses sérieuses...

Notations

La droite (OA) est orientée positivement du point O vers le point A.
Soient ensuite,

  •  x(t) : la position de Kid Flash à un instant t. Kiddy se déplaçant à la vitesse c de O vers A, on a immédiatement x(t)=c\times t.
  • t_n : le temps correspondant à la n-ième rencontre des deux super-héros, et on pose t_0=0 et x_n=x(t_n).
  • d(t)=D-x(t), la distance restant à parcourir par Kid Flash à un instant t pour atteindre A. On pose d_n=D-x_n, la distance séparant les deux protagonistes de A au n-ième point de rencontre. On a donc d_n=D-ct_n (1).
  • D_n : la distance totale parcourue par Jimmy au n-ième point de rencontre.
  • D' : la distance parcourue par Jimmy Neutron quand Kid Flash atteint son point d'arrivée.

Analyse du problème


Pendant que Jimmy va de O vers A puis revient chatouiller les narines de Kid Flash, ce dernier avance et continue son chemin. A chaque rencontre, Kid Flash se rapproche de son point d'arrivée alors que Jimmy effectue des allers-retours de plus en plus court. La distance parcourue par Jimmy Neutron à la n-ième rencontre est donc la somme des longueurs des allers-retours qu'il a effectué.

Détaillons un peu. Au premier point de rencontre, Mr Neutron a parcouru la distance D pour aller en A, puis il revient vers Kid Flash et l'atteint après avoir parcouru la distance D-x_1, donc la distance totale parcourue par Jimmy au moment du premier point de recontre est :

D_1=D+(D-x_1)=D+d_1.

Au second point de rencontre, Jimmy parcourt la distance D-x_1 pour aller en A, puis il revient vers Kid Flash et l'atteint après avoir parcouru la distance D-x_2, donc

D_2=D_1+(D-x_1)+(D-x_2)=D+2d_1+d_2.

En généralisant au rang n1, on obtient :

D_n=D+2\displaystyle\sum \limits_{k=1}^{n-1} d_k+d_n,

ce qu'on réécrit pour simplifier sous la forme

D_n=2\displaystyle\sum \limits_{k=0}^{n} d_k-(d_0+d_n) (2).

La distance D' à calculer est donc la limite quand n tend vers l'infini de la somme des distances parcourue par Jimmy Neutron :

D'=\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}D_n.

Or, d_n=D-ct_n. Il ne nous reste plus qu'à calculer les expressions des instants de rencontres t_n. C'est là que ça se corse un poil.

Calcul des instants de rencontres

Entre deux rencontres consécutives, c'est à dire entre les instants t_n et t_{n+1}, Kid Flash parcourt la distance x_{n+1}-x_n, et Jimmy Neutron parcourt la distance d_n+d_{n+1}. Le temps s'écoulant à la même vitesse pour tout le monde2, on a donc :

\displaystyle\frac{x_{n+1}-x_n}{c}=\frac{d_n+d_{n+1}}{c'}.

Grâce à la relation (1) (cf section notations), on obtient après quelques lignes de calcul3 :

t_{n+1}=\displaystyle\frac{c'-c}{c'+c}t_n+\frac{2D}{c'+c}.

Posons nous un moment sur cette relation. C'est une relation de récurrence affine, ni géométrique, ni arithmétique. C'est en fait une relation de récurrence arithmético-géométrique du type

t_{n+1}=\alpha t_n+\beta, avec \alpha=\displaystyle\frac{c'-c}{c'+c} et \beta=\displaystyle\frac{2D}{c'+c}.

Ce type de relation se rencontre fréquemment dans la modélisation des flux (d'argent ou de population)4.

Pour obtenir le terme général d'une suite de ce type, on pose u_n=t_n+\gamma avec \gamma=\displaystyle\frac{\beta}{\alpha-1}, et on démontre5 que u_n est une suite géométrique de raison \alpha et de premier terme u_0=t_0+\gamma=\gamma. On obtient donc le terme général u_n=\gamma\alpha^n, et en inversant la relation on trouve :

t_n=\gamma(1-\alpha^n) (3)

avec, dans notre cas, \gamma=\displaystyle\frac{D}{c}.

Maintenant qu'on a trouvé l'expression de nos temps de rencontres, il ne nous reste plus qu'à injecter tout ça dans la relation (2) pour conclure.

Calcul de la distance parcourue

Revenons un peu en arrière.

On a d_n=D-ct_n, d'où, en injectant l'expression obtenue précédemment pour t_n,

d_n=D\alpha^n \quad (4).

Dans la relation (2), on a le terme \displaystyle\sum \limits_{k=0}^{n} d_k. C'est la somme des (n+1) premiers termes d'une suite géométrique de raison \alpha et de premier terme d_0. Elle vaut donc

\displaystyle\sum \limits_{k=0}^{n} d_k=d_0\displaystyle\frac{1-\alpha^{n+1}}{1-\alpha} \quad (5).

En injectant les relations (4) et (5) dans (2), on obtient, après quelques lignes de calcul6 :

D_n=\displaystyle\frac{c'}{c}D(1-\alpha^n) (6).

Comme \alpha<1, \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\alpha^n=0, et par conséquent :

D'=\displaystyle\frac{c'}{c}D.

Retour au problème initial

Afin de valider les résultats obtenus, je vous propose la solution simple. Le processus prend fin lorsque Kid Flash atteint le point A. Comme il voyage à la vitesse c, il met le temps T=D/c, pour parcourir cette distance.

Première remarque : on retrouve bien que \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}t_n=\gamma=\frac{D}{c}=T.

Pendant ce temps T, Jimmy Neutron aura donc parcouru à la vitesse c', la distance c'\times T, ce qui donne bien le résultat annoncé : D'=\displaystyle\frac{c'}{c}D.

Application numérique

Avec

  • D= 1 année lumière soit environ 9500 milliard de km ;
  • c= célérité de la lumière, soit environ 300 000 km/s ;
  • c'= 300.006 km/s.
On obtient :
  • T= 31666666,6667 s = environ une année (normal...)
  • D'= 9500,19 milliard de km.
  •   n t_n (en secondes) x_n (en km) d_n (en km) D_n (en km)
      1   3,166 635 000 320 . 107 9 499 905 000 950 0,94 9 500 094 999 050
      2   3,166 666 663 500 . 107 9 499 999 999 050 9 500 . 10-9 9 500 189 999 050
      3   3,166 666 666 667 . 107 ~ 9 500 000 000 000 ~ 0 ~ 9 500 190 000 000

Conclusion

L'écart relatif de vitesse entre Kid Flash et Jimmy Neutron est tellement faible (0,02 %) qu'il suffit de trois rencontres très rapprochées du point A pour que le processus touche à sa fin (en arrondissant).

Jimmy Neutron aura uniquement parcouru quelques 190 millions de km en plus que Kid Flash.

Pour conclure, ce frimeur de Jimmy Neutron a beau aller plus vite que Kid Flash, il y a encore de la marge avant qu'il lui foute une raclée au 100 mètres haies.

Pour aller plus loin...

En vérité, Jimmy Neutron ne peut pas du tout se déplacer à la vitesse d'un neutrino ou d'un photon. Tout au mieux, à une vitesse moyenne de coureur d'ultrafond, on aura c'=6 km/h sur la distance d'un marathon, D= 42,195 km.

Les rôles sont alors inversés : c'est Kid Flash qui va pouvoir narguer ce molasson de Neutron.

On considère que le processus prend lorsque la distance restant à parcourir par Jimmy devient inférieure à 1 mètre.

Question 1 : au bout de combien d'allers-retours de Kid Flash le processus prend-il fin ?

Question 2 : quelle est alors la distance qu'il a parcourue ?

  1. je laisse le soin aux lecteurs de le démontrer par récurrence, c'est trivial
  2. c'est valable sous l'hypothèse que j'ai rappelé dans ma remarque au début de l'article.
  3. idem, je laisse le soin aux lecteurs de le vérifier, c'est trivial...
  4. voir cet article sur techno-science.net : suite arithmético-géométrique.
  5. c'est trivial...
  6. c'est... presque trivial...
oct 292011
 

Récemment je suis tombé sur cette image via festimaths :

La question est en anglais. Je traduis (au mieux1) :

Si vous choisissez une réponse au hasard à cette question, quelle est la probabilité que vous ayez choisi celle qui est correcte ?
A) 25 %
B) 50 %
C) 60%
D) 25 %

Bon, premièrement, on reste perplexe quelques secondes, voire quelques minutes. Puis on crie au scandale parce qu'on n'y comprend rien ! Outre l'humour mathématique de degré probablement supérieur à deux2 que ce paradoxe recèle, on est face à un dilemne difficile à résoudre.

On peut glaner sur internet quelques propositions du genre "on a 1 chance sur 2 d'avoir 1 chance sur 4", ou alors "on choisit la bonne réponse en prenant la réponse A) et D)". Rien de vraiment satisfaisant.

Après avoir fait quelques recherches, j'ai trouvé des éléments de réponses ici (en anglais). Cette gentille question semble similaire au paradoxe de Russell ou au paradoxe du menteur. En bref, une ambiguïté naît de la confusion entre le langage et le métalangage (celui qui parle du langage dans lequel il parle au moment où il parle), mais je suis bien en peine de pouvoir l'expliquer à mes adorables lecteurs avec mes petits neurones.

Si un expert logicien passe par ici pour nous éclairer...

  1. je suis ouvert à toute traduction meilleure que celle-là
  2. voir à ce propos cet excellent papier "Pourquoi est-il si difficile de calculer le degré d'une blague mathématique", Dimitri Karpov, Minos Libbouet, Roland Triedich
oct 182011
 

Cette année, je vais préparer des élèves de terminale S à l'épreuve optionnelle de mathématiques du concours d'entrée à l'Institut des Etudes Politiques de Paris.

Les épreuves font appel aux notions de terminale S, mais les sujets sont plus difficiles et demandent une maîtrise parfaite du programme. L'objectif est donc d'amener de très bons élèves à un niveau d'excellence.

Pour en savoir plus, voir cet article sur mon site professionnel : prof de maths pour IPRASUP.

 Posted by at 17 h 04 min
sept 292011
 

Une nouvelle énigme assez corsée qui devrait plaire aux amateurs de la théorie des jeux, inspirée cette fois d'un exercice posé par le professeur de maths d'un des élèves de l'un de mes confrères professeur particulier.

Notez qu'il s'agit d'un exercice de niveau terminale S, donc on ne peut utiliser que les notions vues à ce niveau du programme.

Voici l'énoncé :

Dix personnes sont autour d'une table. Dix jetons portant les numéros de 1 à 10 sont distribués au hasard à ces 10 personnes. Chaque joueur gagne une somme égale (en €) au total des nombres inscrits sur son jeton ainsi que sur ceux de ses voisins de gauche et de droite.

Ainsi peut-on affirmer : "Au moins une des dix personnes aura un gain au moins égal à M€".

Quel est le plus grand nombre que l'on peut mettre à la place de M ?

A vos neuronnes !

N.B. : l'énoncé est un peu alambiqué. Il s'agit de trouver le plus petit gain maximal qu'on est certain d'obtenir quelle que soit la configuration. Il faut donc trouver le min du max...


- Indice 1 (cliquer pour développer)
Démontrez que le gain moyen par joueur est égal à 16,50 €.
- Indice 2 (cliquer pour développer)
Commme il s'agit de trouver quel est le gain minimum M, parmi les gains maximaux possibles, on peut facilement éliminer tous les gains inférieurs à la moyenne...
- Indice 3 (cliquer pour développer)
Démontrer par l'absurde que l'hypothèse M=17 est impossible.

- Solution (cliquer pour développer)
Note : la résolution de cette énigme est inspirée fortement d'une solution proposée par @cours2maths (téléchargeable à cette adresse : blog.cours2maths.com) à l'aide des contributions de @courmpc et de moi-même.
Pour ne pas rebuter trop de monde, j'ai choisi de passer le plus possible par le français en évitant les formules.
La résolution de cette énigme se fera en deux étapes :

  1. Calcul du gain moyen par joueur
  2. Recherche du gain minimal M parmi les gains maximaux possibles.
Etape 1. Gain moyen par joueur.
Les numéros tirés par les joueurs sont tous distincts 2 à 2, mais les gains peuvent être identiques.

Notons S la somme des gains de chaque joueur.
Puisque le gain de chaque joueur est la somme de trois entiers distincts pris entre 1 et 10, effectuer la somme des gains des joueurs est équivalent à calculer trois fois la somme des entiers de 1 à 10 (l'addition est associative. C'est évident, mais ça va mieux en le disant). Cette somme étant égale à 55 (n(n+1)/2 avec n=10), la somme des gains des joueurs est de 3*55=165 :

S=165.

Notons \bar{g} le gain moyen par joueur.
Comme il y a 10 joueurs et que les configurations sont toutes équiprobables, le gain moyen est \bar{g}=S/10 :

\bar{g}=16,5.

Etape 2. Recherche du plus petit des gains maximums.

2.1 Amplitude des gains.

Le plus petit gain pour un joueur donné est de 6 €. En effet, la somme minimale de trois chiffres distincts choisis entre 1 et 10 est 1+2+3=6.
Le plus grand gain pour un joueur donné est de 27 €. En effet, la somme maximale de trois chiffres distincts choisis entre 1 et 10 est 8+9+10=27.
Donc les gains de tous les joueurs sont des entiers compris entre 6 et 27.

Le nombre M recherché, qui représente le plus petit des gains maximaux, est donc un entier compris entre 6 et 27.

2.2 Peut-on avoir M\leq16,5 ?
Dans toute série statistique, le maximum est toujours supérieur ou égal à la moyenne. M en tant que gain maximum est donc nécessairement supérieur ou égal à \bar{g}.
Par conséquent, M ne peut pas être inférieur à 16,5.

Donc M est au moins égal à 17.

2.3 Peut-on avoir M=17 ?

Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe une configuration dans laquelle on a exactement n gains de 17 €. Nous aurons donc 10-n gains inférieurs ou égaux à 16 € (80=16x5). Notons S' la somme des gains inférieurs ou égaux à 16 €.
Les deux relations suivantes doivent alors être vérifiées :

17n+S'=165, \quad (I)
S'\leq 16(10-n). \quad (II)

De (I) on déduit S'=165-17n. En injectant ce résultat dans la seconde inégalité (II), on obtient après quelques lignes de calcul élémentaire n\geq 5.

Conséquence : s'il existe une configuration dans laquelle on a un gain maximum à 17€, alors il y a nécessairement au moins 5 gains à 17 €.

Considérons pour l'instant le cas n=5.
La somme des 5 autres gains est alors de 80 (S'=165-17\times 5=80). Comme ce sont des entiers inférieurs ou égaux à 16€, ils sont tous égaux à 16 €. Nous avons donc 5 gains à 17 € et 5 gains à 16 €.

Numérotons avec i variant de 1 à 10 les joueurs dans leur ordre consécutif autour de la table. Par ailleurs, notons N_i le numéro figurant sur le jeton tiré par le joueur i et g_i le gain du joueur i.

Montrons que, sous les hypothèses courantes (à savoir M=17 et n=5) deux joueurs successifs ne peuvent pas avoir le même gain.
Considérons arbitrairement les joueurs 5 et 6 (le raisonnement qui suit tient pour tous couple de joueurs consécutifs mais raisonner sur i et i+1 complique la démonstration car les chiffres 10 et 1 sont consécutifs dans l'ordre de la table).
On a,
g_5=N_4+N_5+N_6, \quad \text{et} \quad g_6=N_5+N_6+N_7.
De là on voit que g_5=g_6 implique N_4=N_7 ce qui est impossible puisque les numéros des jetons sont tous distincts. Donc deux joueurs voisins ne peuvent pas avoir le même gain (ce raisonnement tient aussi pour n\geq 5).

La seule distribution possible est donc une alternance de gain à 16 € et 17 €.
Posons arbitrairement la répartition suivante :

g_1=N_{10}+N_1+N_2=17 \quad (1),
g_2=N_1+N_2+N_3=16 \quad (2),
g_3=N_2+N_3+N_4=17 \quad (3),
g_4=N_3+N_4+N_5=16 \quad (4),
g_5=N_4+N_5+N_6=17 \quad (5),
etc.

Alors, (1)-(2)+(4)-(5) donne :

N_{10}+N_1+N_2-N_1-N_2-N_3+N_3+N_4+N_5-N_4-N_5-N_6=17-16+16-17,
ou encore :
N_{10}-N_6=0,
ce qui est impossible puisque les jetons sont tous différents.

Donc la seule possibilité restante est que n soit supérieur à 5. Or, dans ce cas, on aura nécessairement deux joueurs consécutifs avec un gain égal à 17 €, ce qui, nous l'avons montré plus haut, est impossible.

Nous avons envisagé tous les cas pouvant donner un plus petit gain maximal égal à 17 € et avons obtenu à chaque fois un résultat absurde.

L'hypothèse M=17 est donc exclue.

2.3 Peut-on avoir M=18 ?

@courmpc a fait la proposition de répartition suivante donnant un gain maximum égal à 18 €.

Conclusion : M=18.

Au moins une des 10 personnes aura un gain au moins égal à 18 €.

 Posted by at 11 h 17 min
sept 272011
 

Une énigme, ça faisait longtemps. Elle m'a été inspirée par un exercice portant sur la numération (prenez ça comme un indice...) donné par le professeur de l'un des élèves à qui je donne des cours particuliers.

Les capsules de café

Flow Soonlasting, professeur de mathématique, décide de se rendre en salle des professeurs pour y boire un café. Malheureusement, alors qu'il s'approche du distributeur automatique, il aperçoit la porte du distributeur automatique grande ouverte et l'employé chargé de l'approvisionnement de fort mauvaise humeur.
" Monsieur, un problème avec le distributeur ? ", demande-t-il ?

L'employé désigne un charriot où s'entassent quelques paquets de café en capsules, tous identiques et ouverts.

" Notre fournisseur m'a signalé par mail qu'il s'était trompé d'emballage pour l'un de ces paquets ! " grogne-t-il. " J'avais commandé cinq paquets de la marque Cabane du café, les seuls qu'acceptent le distributeur ; et ils m'ont envoyé un paquet de Neswatelse. Comme le conditionnement est le même, impossible de savoir quel est l'intrus. Je vais être obligé de tout renvoyer. Donc pas de café aujourd'hui, désolé. "

Une lueur d'alarme s'allume aussitôt dans le regarde de M. Soonlasting.

" Il n'y a aucun moyen de différencier les capsules de Cabane du café de celles de Neswatelse ?
- Aucune, regardez par vous-même ! "

Effectivement, les cinq paquets semblent contenir exactement les mêmes capsules noires.

" Pourtant, reprend M. Soonlasting, il doit bien y avoir une différence si le distributeur sait reconnaître les capsules qui lui conviennent.
- En fait, les capsules de Maxou LL pèsent exactement 11 g, et celles de Cafésup 10 g. Mais je suis bien incapable de sentir une différence aussi petite en soupesant les capsules !
- Ne bougez pas ! " s'exclame alors M. Soonlasting, avant de quitter la salle des professeurs au pas de course.

Il revient quelques instants plus tard avec une balance de précision empruntée au laboratoire de chimie.

" Ah ! Quelle rapidité ! s'exclame l'employé. Je vais peser une capsule de chaque paquet pour éliminer l'intrus et vous allez pouvoir déguster votre café.
- En fait, souffle M. Soonlasting, je pense même qu'on peut se contenter d'une seule pesée. "

Comment Flow Soonlasting compte-t-il procéder ?

A vos neurones !


Solution détaillée (cliquer pour développer)
Le professeur doit numéroter les paquets de capsules de 1 à 5. Ensuite, il forme un ensemble à peser constitué de 10 capsules : une du paquet #1, deux du paquet #2, trois du paquet #3 et quatre du paquet #4.
La pesée de cet ensemble peut indiquer exclusivement les poids suivants :
- 100 g : dans ce cas, toutes les capsules pèsent 10g et c'est le paquet restant auquel on n'a pas touché (le #5) qui est celui recherché (qui contient des capsules de 11 g).
- 101 g : dans ce cas, l'excès de 1 g nous indique qu'il n'y a qu'une seule capsule qui pèse 11 g, elle provient donc du paquet #1.
- 102 g : dans ce cas, l'excès de 2 g nous indique qu'il y a deux capsules de 11 g, elles proviennent donc du paquet #2.
- 103 g : dans ce cas, même raisonnement, il y a trois capsules de 11 g, elles proviennent donc du paquet #3.
- 104 g : idem, elles proviennent donc du paquet #4.

Finalement, on observe que le chiffre des unités dans la pesée donne le numéro du paquet à renvoyer.

Et voilà, une fois qu'on le sait, c'est simple comme bonjour, et on se demande comment on a fait pour ne pas y penser.


 Posted by at 23 h 13 min
sept 192011
 

Aujourd'hui, je fais un peu de publicité pour des confrères blogueurs que j'apprécie particulièrement, soit pour l'intérêt que je trouve aux sujets abordés ou pour leur qualité rédactionnelle et leur humour.

D'une manière plus générale je tiens à saluer et féliciter toutes les initiatives (réussies ou non dans des degrés divers) qui naissent ici et là pour tenter de transmettre les savoirs scientifiques de manière intéressante, ludique ou tout simplement décalée.

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sept 042011
 

Flow Soonlasting, professeur de maths à l'Université Gaullienne des Sciences en la ville fleurie de Lutèce, capitale de l'Union Républicaine des Socialistes Réunis (URSR) est soucieux. Il a du mal à s'endormir. Alors que ses pensées tournent en rond, il décide de détourner son attention en comptant les moutons.

Sauf que, pour un mathématicien de son niveau, ça devient vite très ennuyeux... alors il se met à compter les "deux puissance moutons"... voici ce qu'il s'est passé dans sa tête par la suite.

Un mouton, deux moutons, trois moutons, ..., 100 moutons, ... [une heure plus tard], 112 457 moutons, ... bon ! Nan vraiment, compter les moutons c'est chiant. Je vais compter les puissances de deux moutons :

2pas de moutons = 1 mouton,
21 mouton = 2 moutons,
22 moutons = 4 moutons,
23 moutons = 8 moutons...

Les moutons sautent la barrière par puissance de 2

Tiens en fait, compter les "deux puissance moutons" ça revient à considérer qu'à chaque saut de barrière, on double le nombre de moutons. Formalisons ça un peu. Pour obtenir le nombre de moutons qui sautent la barrière la nième fois, je multiplie par deux le nombre de moutons ayant sauté à l'étape précédente. Cela me donne la succession dans l'ordre des puissances de deux :

Numéro du saut 1 2 3 4 ... n n+1 ...
Nombre de moutons
sautant la barrière
1 2 4 8 ... 2^{n-1} 2^n ...

 

Tiens, je pourrais construire une suite pour calculer le nombre de moutons sautant la barrière à l'étape n. Je vais l'appeler (u). Avec cette notation, j'ai une relation de récurrence entre le saut de barrière de rang n+1 et celui de rang précédent n :

 u_{n+1}=2\times u_n.

Ah ben tiens ! ça je connais ! c'est une suite géométrique de raison 2. Je peux en déduire explicitement le nième terme de la suite u_n en fonction du numéro du saut n et du premier terme de la suite. La formule générale c'est :

nième terme de la suite = premier terme de la suite x (la raison)^(indice du terme de la suite-1),

ce que je peux traduire mathématiquement par :

u_n=u_1\times q^{n-1},

u_1 désigne le premier terme de la suite et q la raison. Donc ici, u_1, c'est le nombre de moutons au premier saut, c'est à dire 1 : u_1=1. La raison, c'est facile, c'est 2, donc q=2.
Finalement, j'obtiens [un premier baillement...] :

u_n=1 \times 2^{n-1} = 2^{n-1}.

Et voilà ! le nième groupe de mouton qui va sauter la barrière est constitué de 2^{n-1} moutons.

Ah oui, un autre truc marrant à compter : le nombre de moutons qui auront sauté la barrière au nième saut. Mhhh réfléchissons un peu... ça doit faire un truc du genre 1+2+4+8+...+2^{n-1}.

C'est tout simplement la somme des termes de la suite u_n de 1 à n : u_1+u_2+u_3+u_4+...+u_n. Ah ben ça tombe bien, pour les suites géométriques, j'ai une formule tout faite pour ça. Appelons cette somme S_n. Alors,

 S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+...+u_n=u_1\times\frac{1-q^{n-1}}{1-q},

u_1, c'est toujours le premier terme, donc 1, et q toujours la raison, donc 2. Faut que je fasse gaffe, car S_n contient n termes et désigne le nombre de moutons qui sont de l'autre côté de la barrière après le nième saut. Donc ça me donne, en appliquant la formule et après un peu de calcul mental élémentaire [second baillement...] :

 S_n = 2^n -1.

Le troupeau de l'autre côté de la barrière après le nième saut est constitué de 2^n-1 moutons.

Donc, par exemple, au 3ème saut de barrière, j'ai u_3=2^{3-1}=4 moutons qui vont sauter et qui vont rejoindre les S_2=2^2-1=3 moutons qui ont déjà sauté, ce qui fera S_3=S_2+u_3=2^3-1=7 moutons en tout [troisième baillement...].

Si je fait la même chose pour le 10ème saut, ça va me faire un joli groupe de u_{10}=512 moutons, qui vont rejoindre les S_9=511 moutons qui ont déjà sauté, et après le saut ça me fera un beau troupeau de [quatrième baillement...] S_{10}=1023 moutons !

Au bout de 10 sauts, ça en fait des moutons...

Tiens... mais qu'est-ce qu'il a ce mouton à me regarder bizarrement comme ça. Mais... mais, qu'es-ce qu'ils ont TOUS à me fixer avec leurs yeux d'ovins ! Ah, mais arrêtez ! C'est flippant ! Pourquoi vous courrez ? Pourquoi vous courrez tous vers moi en bêlant ! Ahh ! A MOI ! Je me fais agresser par des moutons ! Ah ! Et voilà qu'ils se mettent à sonner maintenant ! Un mouton c'est censé bêler, par sonner ! Vous êtes pas censés imiter la sonnerie de mon réveil ! Mon réveil ? tiens... euh... quelle heure est-il au fait ? 3h42... pfff... c'était juste une mauvais rêve...

Maintenant que je suis réveillé... je vais pouvoir compter les "trois puissance mouton"...

août 022011
 

 

Planète Gaïa, dans la République de Gaulle, année 2011 du Nouveau Calendrier Stellaire, l'Union Républicaine des Socialistes Réunis (URSR) a gagné les dernières élections planétaires et a imposé sa nouvelle politique du temps de travail. Désormais les salariés de toutes les nations devront prendre 3 jours de repos à la fin de chaque semaine : le vendredi, le samedi et le dimanche. Dans ce contexte social épanoui, la société du loisir fleurit et les jeux de logiques vont bon train...1 Continue reading »

  1. ce contexte relève bien évidemment de la science-fiction, et toute ressemblance avec des faits passés, présents ou à venir, ou des opinions personnelles serait bien évidemment le pur fruit du hasard... []
juil 062011
 

Suite à la polémique concernant le premier exercice de probabilités du sujet de maths (qui, soit dit en passant était extrêmement facile, s'il y avait un exercice à pomper, c'était vraiment pas celui-ci...), les correcteurs ont été indulgents. Les résultats à l'épreuve de maths sont supérieurs à ceux de l'année dernière. En effet, le taux de réussite au bac S a progressé de 1.1% par rapport à 2010 atteignant ainsi les 80% (source : LCI).

J'en profite au passage pour saluer le travail et féliciter les enseignants dont le métier est de plus en plus difficile. J'adresse une pensée toute particulière aux profs particuliers qui, j'en suis convaincu, sont pour beaucoup dans le succès de nombres d'élèves.