oct 292011
 

Récemment je suis tombé sur cette image via festimaths :

La question est en anglais. Je traduis (au mieux1) :

Si vous choisissez une réponse au hasard à cette question, quelle est la probabilité que vous ayez choisi celle qui est correcte ?
A) 25 %
B) 50 %
C) 60%
D) 25 %

Bon, premièrement, on reste perplexe quelques secondes, voire quelques minutes. Puis on crie au scandale parce qu'on n'y comprend rien ! Outre l'humour mathématique de degré probablement supérieur à deux2 que ce paradoxe recèle, on est face à un dilemne difficile à résoudre.

On peut glaner sur internet quelques propositions du genre "on a 1 chance sur 2 d'avoir 1 chance sur 4", ou alors "on choisit la bonne réponse en prenant la réponse A) et D)". Rien de vraiment satisfaisant.

Après avoir fait quelques recherches, j'ai trouvé des éléments de réponses ici (en anglais). Cette gentille question semble similaire au paradoxe de Russell ou au paradoxe du menteur. En bref, une ambiguïté naît de la confusion entre le langage et le métalangage (celui qui parle du langage dans lequel il parle au moment où il parle), mais je suis bien en peine de pouvoir l'expliquer à mes adorables lecteurs avec mes petits neurones.

Si un expert logicien passe par ici pour nous éclairer...

  1. je suis ouvert à toute traduction meilleure que celle-là
  2. voir à ce propos cet excellent papier "Pourquoi est-il si difficile de calculer le degré d'une blague mathématique", Dimitri Karpov, Minos Libbouet, Roland Triedich
sept 292011
 

Une nouvelle énigme assez corsée qui devrait plaire aux amateurs de la théorie des jeux, inspirée cette fois d'un exercice posé par le professeur de maths d'un des élèves de l'un de mes confrères professeur particulier.

Notez qu'il s'agit d'un exercice de niveau terminale S, donc on ne peut utiliser que les notions vues à ce niveau du programme.

Voici l'énoncé :

Dix personnes sont autour d'une table. Dix jetons portant les numéros de 1 à 10 sont distribués au hasard à ces 10 personnes. Chaque joueur gagne une somme égale (en €) au total des nombres inscrits sur son jeton ainsi que sur ceux de ses voisins de gauche et de droite.

Ainsi peut-on affirmer : "Au moins une des dix personnes aura un gain au moins égal à M€".

Quel est le plus grand nombre que l'on peut mettre à la place de M ?

A vos neuronnes !

N.B. : l'énoncé est un peu alambiqué. Il s'agit de trouver le plus petit gain maximal qu'on est certain d'obtenir quelle que soit la configuration. Il faut donc trouver le min du max...


- Indice 1 (cliquer pour développer)
Démontrez que le gain moyen par joueur est égal à 16,50 €.
- Indice 2 (cliquer pour développer)
Commme il s'agit de trouver quel est le gain minimum M, parmi les gains maximaux possibles, on peut facilement éliminer tous les gains inférieurs à la moyenne...
- Indice 3 (cliquer pour développer)
Démontrer par l'absurde que l'hypothèse M=17 est impossible.

- Solution (cliquer pour développer)
Note : la résolution de cette énigme est inspirée fortement d'une solution proposée par @cours2maths (téléchargeable à cette adresse : blog.cours2maths.com) à l'aide des contributions de @courmpc et de moi-même.
Pour ne pas rebuter trop de monde, j'ai choisi de passer le plus possible par le français en évitant les formules.
La résolution de cette énigme se fera en deux étapes :

  1. Calcul du gain moyen par joueur
  2. Recherche du gain minimal M parmi les gains maximaux possibles.
Etape 1. Gain moyen par joueur.
Les numéros tirés par les joueurs sont tous distincts 2 à 2, mais les gains peuvent être identiques.

Notons S la somme des gains de chaque joueur.
Puisque le gain de chaque joueur est la somme de trois entiers distincts pris entre 1 et 10, effectuer la somme des gains des joueurs est équivalent à calculer trois fois la somme des entiers de 1 à 10 (l'addition est associative. C'est évident, mais ça va mieux en le disant). Cette somme étant égale à 55 (n(n+1)/2 avec n=10), la somme des gains des joueurs est de 3*55=165 :

S=165.

Notons \bar{g} le gain moyen par joueur.
Comme il y a 10 joueurs et que les configurations sont toutes équiprobables, le gain moyen est \bar{g}=S/10 :

\bar{g}=16,5.

Etape 2. Recherche du plus petit des gains maximums.

2.1 Amplitude des gains.

Le plus petit gain pour un joueur donné est de 6 €. En effet, la somme minimale de trois chiffres distincts choisis entre 1 et 10 est 1+2+3=6.
Le plus grand gain pour un joueur donné est de 27 €. En effet, la somme maximale de trois chiffres distincts choisis entre 1 et 10 est 8+9+10=27.
Donc les gains de tous les joueurs sont des entiers compris entre 6 et 27.

Le nombre M recherché, qui représente le plus petit des gains maximaux, est donc un entier compris entre 6 et 27.

2.2 Peut-on avoir M\leq16,5 ?
Dans toute série statistique, le maximum est toujours supérieur ou égal à la moyenne. M en tant que gain maximum est donc nécessairement supérieur ou égal à \bar{g}.
Par conséquent, M ne peut pas être inférieur à 16,5.

Donc M est au moins égal à 17.

2.3 Peut-on avoir M=17 ?

Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe une configuration dans laquelle on a exactement n gains de 17 €. Nous aurons donc 10-n gains inférieurs ou égaux à 16 € (80=16x5). Notons S' la somme des gains inférieurs ou égaux à 16 €.
Les deux relations suivantes doivent alors être vérifiées :

17n+S'=165, \quad (I)
S'\leq 16(10-n). \quad (II)

De (I) on déduit S'=165-17n. En injectant ce résultat dans la seconde inégalité (II), on obtient après quelques lignes de calcul élémentaire n\geq 5.

Conséquence : s'il existe une configuration dans laquelle on a un gain maximum à 17€, alors il y a nécessairement au moins 5 gains à 17 €.

Considérons pour l'instant le cas n=5.
La somme des 5 autres gains est alors de 80 (S'=165-17\times 5=80). Comme ce sont des entiers inférieurs ou égaux à 16€, ils sont tous égaux à 16 €. Nous avons donc 5 gains à 17 € et 5 gains à 16 €.

Numérotons avec i variant de 1 à 10 les joueurs dans leur ordre consécutif autour de la table. Par ailleurs, notons N_i le numéro figurant sur le jeton tiré par le joueur i et g_i le gain du joueur i.

Montrons que, sous les hypothèses courantes (à savoir M=17 et n=5) deux joueurs successifs ne peuvent pas avoir le même gain.
Considérons arbitrairement les joueurs 5 et 6 (le raisonnement qui suit tient pour tous couple de joueurs consécutifs mais raisonner sur i et i+1 complique la démonstration car les chiffres 10 et 1 sont consécutifs dans l'ordre de la table).
On a,
g_5=N_4+N_5+N_6, \quad \text{et} \quad g_6=N_5+N_6+N_7.
De là on voit que g_5=g_6 implique N_4=N_7 ce qui est impossible puisque les numéros des jetons sont tous distincts. Donc deux joueurs voisins ne peuvent pas avoir le même gain (ce raisonnement tient aussi pour n\geq 5).

La seule distribution possible est donc une alternance de gain à 16 € et 17 €.
Posons arbitrairement la répartition suivante :

g_1=N_{10}+N_1+N_2=17 \quad (1),
g_2=N_1+N_2+N_3=16 \quad (2),
g_3=N_2+N_3+N_4=17 \quad (3),
g_4=N_3+N_4+N_5=16 \quad (4),
g_5=N_4+N_5+N_6=17 \quad (5),
etc.

Alors, (1)-(2)+(4)-(5) donne :

N_{10}+N_1+N_2-N_1-N_2-N_3+N_3+N_4+N_5-N_4-N_5-N_6=17-16+16-17,
ou encore :
N_{10}-N_6=0,
ce qui est impossible puisque les jetons sont tous différents.

Donc la seule possibilité restante est que n soit supérieur à 5. Or, dans ce cas, on aura nécessairement deux joueurs consécutifs avec un gain égal à 17 €, ce qui, nous l'avons montré plus haut, est impossible.

Nous avons envisagé tous les cas pouvant donner un plus petit gain maximal égal à 17 € et avons obtenu à chaque fois un résultat absurde.

L'hypothèse M=17 est donc exclue.

2.3 Peut-on avoir M=18 ?

@courmpc a fait la proposition de répartition suivante donnant un gain maximum égal à 18 €.

Conclusion : M=18.

Au moins une des 10 personnes aura un gain au moins égal à 18 €.

 Posted by at 11 h 17 min
sept 192011
 

Aujourd'hui, je fais un peu de publicité pour des confrères blogueurs que j'apprécie particulièrement, soit pour l'intérêt que je trouve aux sujets abordés ou pour leur qualité rédactionnelle et leur humour.

D'une manière plus générale je tiens à saluer et féliciter toutes les initiatives (réussies ou non dans des degrés divers) qui naissent ici et là pour tenter de transmettre les savoirs scientifiques de manière intéressante, ludique ou tout simplement décalée.

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sept 042011
 

Flow Soonlasting, professeur de maths à l'Université Gaullienne des Sciences en la ville fleurie de Lutèce, capitale de l'Union Républicaine des Socialistes Réunis (URSR) est soucieux. Il a du mal à s'endormir. Alors que ses pensées tournent en rond, il décide de détourner son attention en comptant les moutons.

Sauf que, pour un mathématicien de son niveau, ça devient vite très ennuyeux... alors il se met à compter les "deux puissance moutons"... voici ce qu'il s'est passé dans sa tête par la suite.

Un mouton, deux moutons, trois moutons, ..., 100 moutons, ... [une heure plus tard], 112 457 moutons, ... bon ! Nan vraiment, compter les moutons c'est chiant. Je vais compter les puissances de deux moutons :

2pas de moutons = 1 mouton,
21 mouton = 2 moutons,
22 moutons = 4 moutons,
23 moutons = 8 moutons...

Les moutons sautent la barrière par puissance de 2

Tiens en fait, compter les "deux puissance moutons" ça revient à considérer qu'à chaque saut de barrière, on double le nombre de moutons. Formalisons ça un peu. Pour obtenir le nombre de moutons qui sautent la barrière la nième fois, je multiplie par deux le nombre de moutons ayant sauté à l'étape précédente. Cela me donne la succession dans l'ordre des puissances de deux :

Numéro du saut 1 2 3 4 ... n n+1 ...
Nombre de moutons
sautant la barrière
1 2 4 8 ... 2^{n-1} 2^n ...

 

Tiens, je pourrais construire une suite pour calculer le nombre de moutons sautant la barrière à l'étape n. Je vais l'appeler (u). Avec cette notation, j'ai une relation de récurrence entre le saut de barrière de rang n+1 et celui de rang précédent n :

 u_{n+1}=2\times u_n.

Ah ben tiens ! ça je connais ! c'est une suite géométrique de raison 2. Je peux en déduire explicitement le nième terme de la suite u_n en fonction du numéro du saut n et du premier terme de la suite. La formule générale c'est :

nième terme de la suite = premier terme de la suite x (la raison)^(indice du terme de la suite-1),

ce que je peux traduire mathématiquement par :

u_n=u_1\times q^{n-1},

u_1 désigne le premier terme de la suite et q la raison. Donc ici, u_1, c'est le nombre de moutons au premier saut, c'est à dire 1 : u_1=1. La raison, c'est facile, c'est 2, donc q=2.
Finalement, j'obtiens [un premier baillement...] :

u_n=1 \times 2^{n-1} = 2^{n-1}.

Et voilà ! le nième groupe de mouton qui va sauter la barrière est constitué de 2^{n-1} moutons.

Ah oui, un autre truc marrant à compter : le nombre de moutons qui auront sauté la barrière au nième saut. Mhhh réfléchissons un peu... ça doit faire un truc du genre 1+2+4+8+...+2^{n-1}.

C'est tout simplement la somme des termes de la suite u_n de 1 à n : u_1+u_2+u_3+u_4+...+u_n. Ah ben ça tombe bien, pour les suites géométriques, j'ai une formule tout faite pour ça. Appelons cette somme S_n. Alors,

 S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+...+u_n=u_1\times\frac{1-q^{n-1}}{1-q},

u_1, c'est toujours le premier terme, donc 1, et q toujours la raison, donc 2. Faut que je fasse gaffe, car S_n contient n termes et désigne le nombre de moutons qui sont de l'autre côté de la barrière après le nième saut. Donc ça me donne, en appliquant la formule et après un peu de calcul mental élémentaire [second baillement...] :

 S_n = 2^n -1.

Le troupeau de l'autre côté de la barrière après le nième saut est constitué de 2^n-1 moutons.

Donc, par exemple, au 3ème saut de barrière, j'ai u_3=2^{3-1}=4 moutons qui vont sauter et qui vont rejoindre les S_2=2^2-1=3 moutons qui ont déjà sauté, ce qui fera S_3=S_2+u_3=2^3-1=7 moutons en tout [troisième baillement...].

Si je fait la même chose pour le 10ème saut, ça va me faire un joli groupe de u_{10}=512 moutons, qui vont rejoindre les S_9=511 moutons qui ont déjà sauté, et après le saut ça me fera un beau troupeau de [quatrième baillement...] S_{10}=1023 moutons !

Au bout de 10 sauts, ça en fait des moutons...

Tiens... mais qu'est-ce qu'il a ce mouton à me regarder bizarrement comme ça. Mais... mais, qu'es-ce qu'ils ont TOUS à me fixer avec leurs yeux d'ovins ! Ah, mais arrêtez ! C'est flippant ! Pourquoi vous courrez ? Pourquoi vous courrez tous vers moi en bêlant ! Ahh ! A MOI ! Je me fais agresser par des moutons ! Ah ! Et voilà qu'ils se mettent à sonner maintenant ! Un mouton c'est censé bêler, par sonner ! Vous êtes pas censés imiter la sonnerie de mon réveil ! Mon réveil ? tiens... euh... quelle heure est-il au fait ? 3h42... pfff... c'était juste une mauvais rêve...

Maintenant que je suis réveillé... je vais pouvoir compter les "trois puissance mouton"...

août 022011
 

 

Planète Gaïa, dans la République de Gaulle, année 2011 du Nouveau Calendrier Stellaire, l'Union Républicaine des Socialistes Réunis (URSR) a gagné les dernières élections planétaires et a imposé sa nouvelle politique du temps de travail. Désormais les salariés de toutes les nations devront prendre 3 jours de repos à la fin de chaque semaine : le vendredi, le samedi et le dimanche. Dans ce contexte social épanoui, la société du loisir fleurit et les jeux de logiques vont bon train...1 Continue reading »

  1. ce contexte relève bien évidemment de la science-fiction, et toute ressemblance avec des faits passés, présents ou à venir, ou des opinions personnelles serait bien évidemment le pur fruit du hasard... []
août 182008
 

Un grand classique des énigmes de logique :

Le calife de Bagdad convoqua un jour tous les hommes mariés de sa cité. A l'époque à laquelle se déroule l'énigme, la monogamie était la règle. Le calife leur tint ces propos:"Afin de lutter contre l'adultère, je demande à chacun d'entre vous, s'il s'aperçoit qu'il est trompé, de tuer sa femme le soir même à minuit. De plus, je peux vous dire qu'au moins une femme est infidèle à son mari."

Évidemment, les habitants de Bagdad sont très obéissants à l'égard de leur calife, et appliquent à la lettre tous les ordres donnés. Cependant, comme il est d'ailleurs toujours d'usage, les cocus sont les seuls à ignorer l'infidélité de leur femme. Chaque mari sait quelles sont les femmes infidèles des autres maris, mais ignore si sa propre femme l'est ou non. Par contre, on suppose que les habitants de Bagdad ont une grande intelligence logique, et qu'ils sont donc tout à fait capable de tirer des conclusions sur leur propre situation à partir du comportement des autres.

Rien ne se passe pendant 12 jours. Mais le treizième jour, à minuit, tous les maris cocus exécutent leurs femmes. Combien y avait il de femmes infidèles à Bagdad ?

A vos neuronnes !

 Posted by at 10 h 34 min
mar 052008
 

J'imagine qu'au long de votre scolarité, on vous a toujours dit "Il est interdit formellement interdit de diviser par zéro !". Et comme d'autres choses, vous avez avalé ça, sans vous poser plus de questions. Pourtant, c'est assez embêtant ! Quand on fait du calcul algébrique, il faut toujours faire attention, quand on veut diviser par un machin ou simplifier par un truc, si on n'est pas en train de diviser par zéro sans s'en rendre compte. Comme dans cette énigme, par exemple : "1 = 2 ?". Continue reading »