oct 292011
 

Récemment je suis tombé sur cette image via festimaths :

La question est en anglais. Je traduis (au mieux1) :

Si vous choisissez une réponse au hasard à cette question, quelle est la probabilité que vous ayez choisi celle qui est correcte ?
A) 25 %
B) 50 %
C) 60%
D) 25 %

Bon, premièrement, on reste perplexe quelques secondes, voire quelques minutes. Puis on crie au scandale parce qu'on n'y comprend rien ! Outre l'humour mathématique de degré probablement supérieur à deux2 que ce paradoxe recèle, on est face à un dilemne difficile à résoudre.

On peut glaner sur internet quelques propositions du genre "on a 1 chance sur 2 d'avoir 1 chance sur 4", ou alors "on choisit la bonne réponse en prenant la réponse A) et D)". Rien de vraiment satisfaisant.

Après avoir fait quelques recherches, j'ai trouvé des éléments de réponses ici (en anglais). Cette gentille question semble similaire au paradoxe de Russell ou au paradoxe du menteur. En bref, une ambiguïté naît de la confusion entre le langage et le métalangage (celui qui parle du langage dans lequel il parle au moment où il parle), mais je suis bien en peine de pouvoir l'expliquer à mes adorables lecteurs avec mes petits neurones.

Si un expert logicien passe par ici pour nous éclairer...

  1. je suis ouvert à toute traduction meilleure que celle-là
  2. voir à ce propos cet excellent papier "Pourquoi est-il si difficile de calculer le degré d'une blague mathématique", Dimitri Karpov, Minos Libbouet, Roland Triedich
sept 292011
 

Une nouvelle énigme assez corsée qui devrait plaire aux amateurs de la théorie des jeux, inspirée cette fois d'un exercice posé par le professeur de maths d'un des élèves de l'un de mes confrères professeur particulier.

Notez qu'il s'agit d'un exercice de niveau terminale S, donc on ne peut utiliser que les notions vues à ce niveau du programme.

Voici l'énoncé :

Dix personnes sont autour d'une table. Dix jetons portant les numéros de 1 à 10 sont distribués au hasard à ces 10 personnes. Chaque joueur gagne une somme égale (en €) au total des nombres inscrits sur son jeton ainsi que sur ceux de ses voisins de gauche et de droite.

Ainsi peut-on affirmer : "Au moins une des dix personnes aura un gain au moins égal à M€".

Quel est le plus grand nombre que l'on peut mettre à la place de M ?

A vos neuronnes !

N.B. : l'énoncé est un peu alambiqué. Il s'agit de trouver le plus petit gain maximal qu'on est certain d'obtenir quelle que soit la configuration. Il faut donc trouver le min du max...


- Indice 1 (cliquer pour développer)
Démontrez que le gain moyen par joueur est égal à 16,50 €.
- Indice 2 (cliquer pour développer)
Commme il s'agit de trouver quel est le gain minimum M, parmi les gains maximaux possibles, on peut facilement éliminer tous les gains inférieurs à la moyenne...
- Indice 3 (cliquer pour développer)
Démontrer par l'absurde que l'hypothèse M=17 est impossible.

- Solution (cliquer pour développer)
Note : la résolution de cette énigme est inspirée fortement d'une solution proposée par @cours2maths (téléchargeable à cette adresse : blog.cours2maths.com) à l'aide des contributions de @courmpc et de moi-même.
Pour ne pas rebuter trop de monde, j'ai choisi de passer le plus possible par le français en évitant les formules.
La résolution de cette énigme se fera en deux étapes :

  1. Calcul du gain moyen par joueur
  2. Recherche du gain minimal M parmi les gains maximaux possibles.
Etape 1. Gain moyen par joueur.
Les numéros tirés par les joueurs sont tous distincts 2 à 2, mais les gains peuvent être identiques.

Notons S la somme des gains de chaque joueur.
Puisque le gain de chaque joueur est la somme de trois entiers distincts pris entre 1 et 10, effectuer la somme des gains des joueurs est équivalent à calculer trois fois la somme des entiers de 1 à 10 (l'addition est associative. C'est évident, mais ça va mieux en le disant). Cette somme étant égale à 55 (n(n+1)/2 avec n=10), la somme des gains des joueurs est de 3*55=165 :

S=165.

Notons \bar{g} le gain moyen par joueur.
Comme il y a 10 joueurs et que les configurations sont toutes équiprobables, le gain moyen est \bar{g}=S/10 :

\bar{g}=16,5.

Etape 2. Recherche du plus petit des gains maximums.

2.1 Amplitude des gains.

Le plus petit gain pour un joueur donné est de 6 €. En effet, la somme minimale de trois chiffres distincts choisis entre 1 et 10 est 1+2+3=6.
Le plus grand gain pour un joueur donné est de 27 €. En effet, la somme maximale de trois chiffres distincts choisis entre 1 et 10 est 8+9+10=27.
Donc les gains de tous les joueurs sont des entiers compris entre 6 et 27.

Le nombre M recherché, qui représente le plus petit des gains maximaux, est donc un entier compris entre 6 et 27.

2.2 Peut-on avoir M\leq16,5 ?
Dans toute série statistique, le maximum est toujours supérieur ou égal à la moyenne. M en tant que gain maximum est donc nécessairement supérieur ou égal à \bar{g}.
Par conséquent, M ne peut pas être inférieur à 16,5.

Donc M est au moins égal à 17.

2.3 Peut-on avoir M=17 ?

Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe une configuration dans laquelle on a exactement n gains de 17 €. Nous aurons donc 10-n gains inférieurs ou égaux à 16 € (80=16x5). Notons S' la somme des gains inférieurs ou égaux à 16 €.
Les deux relations suivantes doivent alors être vérifiées :

17n+S'=165, \quad (I)
S'\leq 16(10-n). \quad (II)

De (I) on déduit S'=165-17n. En injectant ce résultat dans la seconde inégalité (II), on obtient après quelques lignes de calcul élémentaire n\geq 5.

Conséquence : s'il existe une configuration dans laquelle on a un gain maximum à 17€, alors il y a nécessairement au moins 5 gains à 17 €.

Considérons pour l'instant le cas n=5.
La somme des 5 autres gains est alors de 80 (S'=165-17\times 5=80). Comme ce sont des entiers inférieurs ou égaux à 16€, ils sont tous égaux à 16 €. Nous avons donc 5 gains à 17 € et 5 gains à 16 €.

Numérotons avec i variant de 1 à 10 les joueurs dans leur ordre consécutif autour de la table. Par ailleurs, notons N_i le numéro figurant sur le jeton tiré par le joueur i et g_i le gain du joueur i.

Montrons que, sous les hypothèses courantes (à savoir M=17 et n=5) deux joueurs successifs ne peuvent pas avoir le même gain.
Considérons arbitrairement les joueurs 5 et 6 (le raisonnement qui suit tient pour tous couple de joueurs consécutifs mais raisonner sur i et i+1 complique la démonstration car les chiffres 10 et 1 sont consécutifs dans l'ordre de la table).
On a,
g_5=N_4+N_5+N_6, \quad \text{et} \quad g_6=N_5+N_6+N_7.
De là on voit que g_5=g_6 implique N_4=N_7 ce qui est impossible puisque les numéros des jetons sont tous distincts. Donc deux joueurs voisins ne peuvent pas avoir le même gain (ce raisonnement tient aussi pour n\geq 5).

La seule distribution possible est donc une alternance de gain à 16 € et 17 €.
Posons arbitrairement la répartition suivante :

g_1=N_{10}+N_1+N_2=17 \quad (1),
g_2=N_1+N_2+N_3=16 \quad (2),
g_3=N_2+N_3+N_4=17 \quad (3),
g_4=N_3+N_4+N_5=16 \quad (4),
g_5=N_4+N_5+N_6=17 \quad (5),
etc.

Alors, (1)-(2)+(4)-(5) donne :

N_{10}+N_1+N_2-N_1-N_2-N_3+N_3+N_4+N_5-N_4-N_5-N_6=17-16+16-17,
ou encore :
N_{10}-N_6=0,
ce qui est impossible puisque les jetons sont tous différents.

Donc la seule possibilité restante est que n soit supérieur à 5. Or, dans ce cas, on aura nécessairement deux joueurs consécutifs avec un gain égal à 17 €, ce qui, nous l'avons montré plus haut, est impossible.

Nous avons envisagé tous les cas pouvant donner un plus petit gain maximal égal à 17 € et avons obtenu à chaque fois un résultat absurde.

L'hypothèse M=17 est donc exclue.

2.3 Peut-on avoir M=18 ?

@courmpc a fait la proposition de répartition suivante donnant un gain maximum égal à 18 €.

Conclusion : M=18.

Au moins une des 10 personnes aura un gain au moins égal à 18 €.

 Posted by at 11 h 17 min
sept 272011
 

Une énigme, ça faisait longtemps. Elle m'a été inspirée par un exercice portant sur la numération (prenez ça comme un indice...) donné par le professeur de l'un des élèves à qui je donne des cours particuliers.

Les capsules de café

Flow Soonlasting, professeur de mathématique, décide de se rendre en salle des professeurs pour y boire un café. Malheureusement, alors qu'il s'approche du distributeur automatique, il aperçoit la porte du distributeur automatique grande ouverte et l'employé chargé de l'approvisionnement de fort mauvaise humeur.
" Monsieur, un problème avec le distributeur ? ", demande-t-il ?

L'employé désigne un charriot où s'entassent quelques paquets de café en capsules, tous identiques et ouverts.

" Notre fournisseur m'a signalé par mail qu'il s'était trompé d'emballage pour l'un de ces paquets ! " grogne-t-il. " J'avais commandé cinq paquets de la marque Cabane du café, les seuls qu'acceptent le distributeur ; et ils m'ont envoyé un paquet de Neswatelse. Comme le conditionnement est le même, impossible de savoir quel est l'intrus. Je vais être obligé de tout renvoyer. Donc pas de café aujourd'hui, désolé. "

Une lueur d'alarme s'allume aussitôt dans le regarde de M. Soonlasting.

" Il n'y a aucun moyen de différencier les capsules de Cabane du café de celles de Neswatelse ?
- Aucune, regardez par vous-même ! "

Effectivement, les cinq paquets semblent contenir exactement les mêmes capsules noires.

" Pourtant, reprend M. Soonlasting, il doit bien y avoir une différence si le distributeur sait reconnaître les capsules qui lui conviennent.
- En fait, les capsules de Maxou LL pèsent exactement 11 g, et celles de Cafésup 10 g. Mais je suis bien incapable de sentir une différence aussi petite en soupesant les capsules !
- Ne bougez pas ! " s'exclame alors M. Soonlasting, avant de quitter la salle des professeurs au pas de course.

Il revient quelques instants plus tard avec une balance de précision empruntée au laboratoire de chimie.

" Ah ! Quelle rapidité ! s'exclame l'employé. Je vais peser une capsule de chaque paquet pour éliminer l'intrus et vous allez pouvoir déguster votre café.
- En fait, souffle M. Soonlasting, je pense même qu'on peut se contenter d'une seule pesée. "

Comment Flow Soonlasting compte-t-il procéder ?

A vos neurones !


Solution détaillée (cliquer pour développer)
Le professeur doit numéroter les paquets de capsules de 1 à 5. Ensuite, il forme un ensemble à peser constitué de 10 capsules : une du paquet #1, deux du paquet #2, trois du paquet #3 et quatre du paquet #4.
La pesée de cet ensemble peut indiquer exclusivement les poids suivants :
- 100 g : dans ce cas, toutes les capsules pèsent 10g et c'est le paquet restant auquel on n'a pas touché (le #5) qui est celui recherché (qui contient des capsules de 11 g).
- 101 g : dans ce cas, l'excès de 1 g nous indique qu'il n'y a qu'une seule capsule qui pèse 11 g, elle provient donc du paquet #1.
- 102 g : dans ce cas, l'excès de 2 g nous indique qu'il y a deux capsules de 11 g, elles proviennent donc du paquet #2.
- 103 g : dans ce cas, même raisonnement, il y a trois capsules de 11 g, elles proviennent donc du paquet #3.
- 104 g : idem, elles proviennent donc du paquet #4.

Finalement, on observe que le chiffre des unités dans la pesée donne le numéro du paquet à renvoyer.

Et voilà, une fois qu'on le sait, c'est simple comme bonjour, et on se demande comment on a fait pour ne pas y penser.


 Posted by at 23 h 13 min
sept 192011
 

Aujourd'hui, je fais un peu de publicité pour des confrères blogueurs que j'apprécie particulièrement, soit pour l'intérêt que je trouve aux sujets abordés ou pour leur qualité rédactionnelle et leur humour.

D'une manière plus générale je tiens à saluer et féliciter toutes les initiatives (réussies ou non dans des degrés divers) qui naissent ici et là pour tenter de transmettre les savoirs scientifiques de manière intéressante, ludique ou tout simplement décalée.

Continue reading »

août 022011
 

 

Planète Gaïa, dans la République de Gaulle, année 2011 du Nouveau Calendrier Stellaire, l'Union Républicaine des Socialistes Réunis (URSR) a gagné les dernières élections planétaires et a imposé sa nouvelle politique du temps de travail. Désormais les salariés de toutes les nations devront prendre 3 jours de repos à la fin de chaque semaine : le vendredi, le samedi et le dimanche. Dans ce contexte social épanoui, la société du loisir fleurit et les jeux de logiques vont bon train...1 Continue reading »

  1. ce contexte relève bien évidemment de la science-fiction, et toute ressemblance avec des faits passés, présents ou à venir, ou des opinions personnelles serait bien évidemment le pur fruit du hasard... []