oct 292011
 

Récemment je suis tombé sur cette image via festimaths :

La question est en anglais. Je traduis (au mieux1) :

Si vous choisissez une réponse au hasard à cette question, quelle est la probabilité que vous ayez choisi celle qui est correcte ?
A) 25 %
B) 50 %
C) 60%
D) 25 %

Bon, premièrement, on reste perplexe quelques secondes, voire quelques minutes. Puis on crie au scandale parce qu'on n'y comprend rien ! Outre l'humour mathématique de degré probablement supérieur à deux2 que ce paradoxe recèle, on est face à un dilemne difficile à résoudre.

On peut glaner sur internet quelques propositions du genre "on a 1 chance sur 2 d'avoir 1 chance sur 4", ou alors "on choisit la bonne réponse en prenant la réponse A) et D)". Rien de vraiment satisfaisant.

Après avoir fait quelques recherches, j'ai trouvé des éléments de réponses ici (en anglais). Cette gentille question semble similaire au paradoxe de Russell ou au paradoxe du menteur. En bref, une ambiguïté naît de la confusion entre le langage et le métalangage (celui qui parle du langage dans lequel il parle au moment où il parle), mais je suis bien en peine de pouvoir l'expliquer à mes adorables lecteurs avec mes petits neurones.

Si un expert logicien passe par ici pour nous éclairer...

  1. je suis ouvert à toute traduction meilleure que celle-là
  2. voir à ce propos cet excellent papier "Pourquoi est-il si difficile de calculer le degré d'une blague mathématique", Dimitri Karpov, Minos Libbouet, Roland Triedich
sept 292011
 

Une nouvelle énigme assez corsée qui devrait plaire aux amateurs de la théorie des jeux, inspirée cette fois d'un exercice posé par le professeur de maths d'un des élèves de l'un de mes confrères professeur particulier.

Notez qu'il s'agit d'un exercice de niveau terminale S, donc on ne peut utiliser que les notions vues à ce niveau du programme.

Voici l'énoncé :

Dix personnes sont autour d'une table. Dix jetons portant les numéros de 1 à 10 sont distribués au hasard à ces 10 personnes. Chaque joueur gagne une somme égale (en €) au total des nombres inscrits sur son jeton ainsi que sur ceux de ses voisins de gauche et de droite.

Ainsi peut-on affirmer : "Au moins une des dix personnes aura un gain au moins égal à M€".

Quel est le plus grand nombre que l'on peut mettre à la place de M ?

A vos neuronnes !

N.B. : l'énoncé est un peu alambiqué. Il s'agit de trouver le plus petit gain maximal qu'on est certain d'obtenir quelle que soit la configuration. Il faut donc trouver le min du max...


- Indice 1 (cliquer pour développer)
Démontrez que le gain moyen par joueur est égal à 16,50 €.
- Indice 2 (cliquer pour développer)
Commme il s'agit de trouver quel est le gain minimum M, parmi les gains maximaux possibles, on peut facilement éliminer tous les gains inférieurs à la moyenne...
- Indice 3 (cliquer pour développer)
Démontrer par l'absurde que l'hypothèse M=17 est impossible.

- Solution (cliquer pour développer)
Note : la résolution de cette énigme est inspirée fortement d'une solution proposée par @cours2maths (téléchargeable à cette adresse : blog.cours2maths.com) à l'aide des contributions de @courmpc et de moi-même.
Pour ne pas rebuter trop de monde, j'ai choisi de passer le plus possible par le français en évitant les formules.
La résolution de cette énigme se fera en deux étapes :

  1. Calcul du gain moyen par joueur
  2. Recherche du gain minimal M parmi les gains maximaux possibles.
Etape 1. Gain moyen par joueur.
Les numéros tirés par les joueurs sont tous distincts 2 à 2, mais les gains peuvent être identiques.

Notons S la somme des gains de chaque joueur.
Puisque le gain de chaque joueur est la somme de trois entiers distincts pris entre 1 et 10, effectuer la somme des gains des joueurs est équivalent à calculer trois fois la somme des entiers de 1 à 10 (l'addition est associative. C'est évident, mais ça va mieux en le disant). Cette somme étant égale à 55 (n(n+1)/2 avec n=10), la somme des gains des joueurs est de 3*55=165 :

S=165.

Notons \bar{g} le gain moyen par joueur.
Comme il y a 10 joueurs et que les configurations sont toutes équiprobables, le gain moyen est \bar{g}=S/10 :

\bar{g}=16,5.

Etape 2. Recherche du plus petit des gains maximums.

2.1 Amplitude des gains.

Le plus petit gain pour un joueur donné est de 6 €. En effet, la somme minimale de trois chiffres distincts choisis entre 1 et 10 est 1+2+3=6.
Le plus grand gain pour un joueur donné est de 27 €. En effet, la somme maximale de trois chiffres distincts choisis entre 1 et 10 est 8+9+10=27.
Donc les gains de tous les joueurs sont des entiers compris entre 6 et 27.

Le nombre M recherché, qui représente le plus petit des gains maximaux, est donc un entier compris entre 6 et 27.

2.2 Peut-on avoir M\leq16,5 ?
Dans toute série statistique, le maximum est toujours supérieur ou égal à la moyenne. M en tant que gain maximum est donc nécessairement supérieur ou égal à \bar{g}.
Par conséquent, M ne peut pas être inférieur à 16,5.

Donc M est au moins égal à 17.

2.3 Peut-on avoir M=17 ?

Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe une configuration dans laquelle on a exactement n gains de 17 €. Nous aurons donc 10-n gains inférieurs ou égaux à 16 € (80=16x5). Notons S' la somme des gains inférieurs ou égaux à 16 €.
Les deux relations suivantes doivent alors être vérifiées :

17n+S'=165, \quad (I)
S'\leq 16(10-n). \quad (II)

De (I) on déduit S'=165-17n. En injectant ce résultat dans la seconde inégalité (II), on obtient après quelques lignes de calcul élémentaire n\geq 5.

Conséquence : s'il existe une configuration dans laquelle on a un gain maximum à 17€, alors il y a nécessairement au moins 5 gains à 17 €.

Considérons pour l'instant le cas n=5.
La somme des 5 autres gains est alors de 80 (S'=165-17\times 5=80). Comme ce sont des entiers inférieurs ou égaux à 16€, ils sont tous égaux à 16 €. Nous avons donc 5 gains à 17 € et 5 gains à 16 €.

Numérotons avec i variant de 1 à 10 les joueurs dans leur ordre consécutif autour de la table. Par ailleurs, notons N_i le numéro figurant sur le jeton tiré par le joueur i et g_i le gain du joueur i.

Montrons que, sous les hypothèses courantes (à savoir M=17 et n=5) deux joueurs successifs ne peuvent pas avoir le même gain.
Considérons arbitrairement les joueurs 5 et 6 (le raisonnement qui suit tient pour tous couple de joueurs consécutifs mais raisonner sur i et i+1 complique la démonstration car les chiffres 10 et 1 sont consécutifs dans l'ordre de la table).
On a,
g_5=N_4+N_5+N_6, \quad \text{et} \quad g_6=N_5+N_6+N_7.
De là on voit que g_5=g_6 implique N_4=N_7 ce qui est impossible puisque les numéros des jetons sont tous distincts. Donc deux joueurs voisins ne peuvent pas avoir le même gain (ce raisonnement tient aussi pour n\geq 5).

La seule distribution possible est donc une alternance de gain à 16 € et 17 €.
Posons arbitrairement la répartition suivante :

g_1=N_{10}+N_1+N_2=17 \quad (1),
g_2=N_1+N_2+N_3=16 \quad (2),
g_3=N_2+N_3+N_4=17 \quad (3),
g_4=N_3+N_4+N_5=16 \quad (4),
g_5=N_4+N_5+N_6=17 \quad (5),
etc.

Alors, (1)-(2)+(4)-(5) donne :

N_{10}+N_1+N_2-N_1-N_2-N_3+N_3+N_4+N_5-N_4-N_5-N_6=17-16+16-17,
ou encore :
N_{10}-N_6=0,
ce qui est impossible puisque les jetons sont tous différents.

Donc la seule possibilité restante est que n soit supérieur à 5. Or, dans ce cas, on aura nécessairement deux joueurs consécutifs avec un gain égal à 17 €, ce qui, nous l'avons montré plus haut, est impossible.

Nous avons envisagé tous les cas pouvant donner un plus petit gain maximal égal à 17 € et avons obtenu à chaque fois un résultat absurde.

L'hypothèse M=17 est donc exclue.

2.3 Peut-on avoir M=18 ?

@courmpc a fait la proposition de répartition suivante donnant un gain maximum égal à 18 €.

Conclusion : M=18.

Au moins une des 10 personnes aura un gain au moins égal à 18 €.

 Posted by at 11 h 17 min
sept 272011
 

Une énigme, ça faisait longtemps. Elle m'a été inspirée par un exercice portant sur la numération (prenez ça comme un indice...) donné par le professeur de l'un des élèves à qui je donne des cours particuliers.

Les capsules de café

Flow Soonlasting, professeur de mathématique, décide de se rendre en salle des professeurs pour y boire un café. Malheureusement, alors qu'il s'approche du distributeur automatique, il aperçoit la porte du distributeur automatique grande ouverte et l'employé chargé de l'approvisionnement de fort mauvaise humeur.
" Monsieur, un problème avec le distributeur ? ", demande-t-il ?

L'employé désigne un charriot où s'entassent quelques paquets de café en capsules, tous identiques et ouverts.

" Notre fournisseur m'a signalé par mail qu'il s'était trompé d'emballage pour l'un de ces paquets ! " grogne-t-il. " J'avais commandé cinq paquets de la marque Cabane du café, les seuls qu'acceptent le distributeur ; et ils m'ont envoyé un paquet de Neswatelse. Comme le conditionnement est le même, impossible de savoir quel est l'intrus. Je vais être obligé de tout renvoyer. Donc pas de café aujourd'hui, désolé. "

Une lueur d'alarme s'allume aussitôt dans le regarde de M. Soonlasting.

" Il n'y a aucun moyen de différencier les capsules de Cabane du café de celles de Neswatelse ?
- Aucune, regardez par vous-même ! "

Effectivement, les cinq paquets semblent contenir exactement les mêmes capsules noires.

" Pourtant, reprend M. Soonlasting, il doit bien y avoir une différence si le distributeur sait reconnaître les capsules qui lui conviennent.
- En fait, les capsules de Maxou LL pèsent exactement 11 g, et celles de Cafésup 10 g. Mais je suis bien incapable de sentir une différence aussi petite en soupesant les capsules !
- Ne bougez pas ! " s'exclame alors M. Soonlasting, avant de quitter la salle des professeurs au pas de course.

Il revient quelques instants plus tard avec une balance de précision empruntée au laboratoire de chimie.

" Ah ! Quelle rapidité ! s'exclame l'employé. Je vais peser une capsule de chaque paquet pour éliminer l'intrus et vous allez pouvoir déguster votre café.
- En fait, souffle M. Soonlasting, je pense même qu'on peut se contenter d'une seule pesée. "

Comment Flow Soonlasting compte-t-il procéder ?

A vos neurones !


Solution détaillée (cliquer pour développer)
Le professeur doit numéroter les paquets de capsules de 1 à 5. Ensuite, il forme un ensemble à peser constitué de 10 capsules : une du paquet #1, deux du paquet #2, trois du paquet #3 et quatre du paquet #4.
La pesée de cet ensemble peut indiquer exclusivement les poids suivants :
- 100 g : dans ce cas, toutes les capsules pèsent 10g et c'est le paquet restant auquel on n'a pas touché (le #5) qui est celui recherché (qui contient des capsules de 11 g).
- 101 g : dans ce cas, l'excès de 1 g nous indique qu'il n'y a qu'une seule capsule qui pèse 11 g, elle provient donc du paquet #1.
- 102 g : dans ce cas, l'excès de 2 g nous indique qu'il y a deux capsules de 11 g, elles proviennent donc du paquet #2.
- 103 g : dans ce cas, même raisonnement, il y a trois capsules de 11 g, elles proviennent donc du paquet #3.
- 104 g : idem, elles proviennent donc du paquet #4.

Finalement, on observe que le chiffre des unités dans la pesée donne le numéro du paquet à renvoyer.

Et voilà, une fois qu'on le sait, c'est simple comme bonjour, et on se demande comment on a fait pour ne pas y penser.


 Posted by at 23 h 13 min
août 022011
 

 

Planète Gaïa, dans la République de Gaulle, année 2011 du Nouveau Calendrier Stellaire, l'Union Républicaine des Socialistes Réunis (URSR) a gagné les dernières élections planétaires et a imposé sa nouvelle politique du temps de travail. Désormais les salariés de toutes les nations devront prendre 3 jours de repos à la fin de chaque semaine : le vendredi, le samedi et le dimanche. Dans ce contexte social épanoui, la société du loisir fleurit et les jeux de logiques vont bon train...1 Continue reading »

  1. ce contexte relève bien évidemment de la science-fiction, et toute ressemblance avec des faits passés, présents ou à venir, ou des opinions personnelles serait bien évidemment le pur fruit du hasard... []
août 182008
 

Un grand classique des énigmes de logique :

Le calife de Bagdad convoqua un jour tous les hommes mariés de sa cité. A l'époque à laquelle se déroule l'énigme, la monogamie était la règle. Le calife leur tint ces propos:"Afin de lutter contre l'adultère, je demande à chacun d'entre vous, s'il s'aperçoit qu'il est trompé, de tuer sa femme le soir même à minuit. De plus, je peux vous dire qu'au moins une femme est infidèle à son mari."

Évidemment, les habitants de Bagdad sont très obéissants à l'égard de leur calife, et appliquent à la lettre tous les ordres donnés. Cependant, comme il est d'ailleurs toujours d'usage, les cocus sont les seuls à ignorer l'infidélité de leur femme. Chaque mari sait quelles sont les femmes infidèles des autres maris, mais ignore si sa propre femme l'est ou non. Par contre, on suppose que les habitants de Bagdad ont une grande intelligence logique, et qu'ils sont donc tout à fait capable de tirer des conclusions sur leur propre situation à partir du comportement des autres.

Rien ne se passe pendant 12 jours. Mais le treizième jour, à minuit, tous les maris cocus exécutent leurs femmes. Combien y avait il de femmes infidèles à Bagdad ?

A vos neuronnes !

 Posted by at 10 h 34 min
juil 132008
 

Trois personnes d'intelligence égale, Auguste, Basile et César vont devoir résoudre une énigme. En fait ces trois personnes sont des logiciens parfaits, c'est à dire qu'ils peuvent déduire instantanément toutes les conséquences de tous les renseignements qu'ils reçoivent. De plus chacun d'eux sait que les deux autres sont des logiciens parfaits. Continue reading »

 Posted by at 11 h 24 min
juin 222008
 

Un professeur sincère, mais particulièrement distrait, a trois filles dont il ne s'occupe guère. Un jour qu'un de ses amis lui demandait l'âge de ses filles, il répondit :

"Je ne sais plus très bien ! Je me souviens que l'une des trois est la plus jeune...- ça n'a rien d'étonnant, lui répond son ami. Laquelle est-ce ?- Je ne me souviens plus très bien... Alice ou Marianne...- Bon, alors laquelle est la plus agée ?- J'ai du mal à m'en rappeler aussi... Alice est la plus âgée ou Valérie la plus jeune, mais je ne peux pas préciser d'avantage..."

Qui est la plus jeune et qui est la plus âgée ? Continue reading »

 Posted by at 11 h 39 min
juin 102008
 

Un homme apporte à un joaillier six chaînes en or composées chacune de cinq anneaux. Il voudrait qu'on fasse avec ces dernières une seule longue chaîne circulaire fermée, et il demande au joaillier combien ça va coûter. Le joaillier répond :

"Chaque fois que j'ouvre un anneau et que je le referme, ça coûte un écu. Puisque vous voulez une chaine circulaire fermée et que vous avez six chaînes, ça vous coûtera six écus.
- Pas d'accord ! répond le client. Vous pouvez faire ce que je vous demande pour moins cher !"

C'est effectivement le client qui a raison. Comment le joaillier doit-il s'y prendre et combien va payer le client ?

A vos neuronnes ! Continue reading »

 Posted by at 10 h 51 min
mai 252008
 

"M. Duchien possède 4 chiens. Un jour qu'il distribuait une boîte de biscuits à ses chiens, le plus vieux a commencé par manger la moitié des biscuits et un autre de plus. Ensuite, le deuxième chien est venu manger la moitié des biscuits restants et un de plus. Après, le troisième est arrivé et a mangé la moitié des biscuits qui restaient et un de plus. Enfin, le dernier est venu manger la moitié des biscuits restants et un supplémentaire, ce qui a fini de vider la boîte de biscuit.

Combien y avait-il de biscuit au départ ?

A vos neuronnes !

 Posted by at 12 h 59 min
mai 042008
 

Un prisonnier est enfermé dans une tour qui comporte deux portes. L'une d'elles donne sur la sortie, l'autre sur les oubliettes. Un gardien est placé devant chaque porte. L'un dit toujours la vérité, l'autre ment toujours.

Quelle seule et unique question le prisonnier doit-il poser à un seul des deux gardiens pour être certain de trouver la porte de la liberté.

A vos neuronnes !

 

 Posted by at 12 h 53 min
avr 272008
 

Une énigme assez difficile spécialement pour farfanet, en espérant qu'il ne la connaisse pas déjà ! Cette énigme est extraite de l'ouvrage "ça y est, je suis fou !!", de Raymond Smullyan, aux éditions Dunod. Voici l'énoncé :

"Le jour de l'armistice de la première guerre mondiale, en 1918, trois couples mariés firent un dîner pour fêter l'évènement. Il se trouve que chaque mari était le frère d'une et d'une seule des épouses, et que chaque épouse était la soeur d'un et d'un seul des maris. Autrement dit, il y avait parmi eux trois paires de frères et soeurs.

On sait cinq choses :

  1. Hélène est agée, exactement, de vingt-six semaines de plus que son mari, lequel est né en août.
  2. La soeur de M. Leblanc, qui est marié au beau-frère du frère d'Hélène, l'a épousé le jour de son anniversaire à elle, qui tombe en janvier.
  3. Marguerite Leblanc n'est pas aussi grande que Guillaume Lenoir.
  4. La soeur d'Arthur est plus grande que Béatrice.
  5. Jean a cinquante ans.

Quel est le prénom de Madame Lebrun ?" Continue reading »

 Posted by at 17 h 23 min