déc 042011
 

 

Récemment, @bouletcorp (je vous recommande en passsant la lecture de son blog : bouletcorp.com), s'est extasié, à juste titre, à la vue de cette image :

C'est beau non ? Alors, c'est quoi le truc ? Explications...

Dissection d'un étage de la pyramide

Commençons par torturer une des équations de la pyramide pour comprendre un peu ce qu'il se passe (accroche-toi Mémé). Considérons le premier membre de la troisième :

123\times 8+3

Etape 1. Ecrivons que 8=10-2 et développons:

123\times 8 +3 = 123\times 10-123\times 2+3

Etape 2. On décompose le terme 2 * 123 en la somme 123+123 :

123\times 8 +3 = 123\times 10-123+3-123

Etape 3. On décompose ensuite le premier 123 en 123=10*12+3

123\times 8 +3=123\times 10-12\times 10-3+3-123

Etape 4. En mettant 10 en facteur sur 1230 et 120, on obtient

123\times 8 +3=(123-12)\times 10-3+3-123

Etape 5. En remarquant que 123-12=111, on trouve :

123\times 8 +3=111\times 10-123

Etape 6. Or, 111*10-123=1110-123=987. D'où finalement

123\times 8 +3=987

Et ça marche tout pareil avec les autres équations de la pyramide. Un autre exemple pour n=5 :

1. 12345\times 8+5=12345\times 10-12345\times 2+5

2. 12345\times 8+5=12345\times 10-12345+5-12345

3. 12345\times 8+5=12345\times 10-1234\times 10-5+5-12345

4. 12345\times 8+5=(12345-1234)\times 10-12345

5. 12345\times 8+5=1111\times 10 - 1234

6. 12345\times 8+5=98765

Lors de chaque étape de calcul, on utilise une propriété élémentaire sur les nombres. Celles utilisées dans les étapes 1, 2 et 4 sont élémentaires. En revanche, les deux dernières le sont moins. L'objectif de ce qui suit est de d'établir une relation générale pour des nombres 12...n et 98...m quelconques, avec n et m compris entre 1 et 9.

Si vous avez décroché à ce moment là de la lecture et que vous souhaitez poursuivre, allez prendre un stimulant, ce qui suit se corse un peu. Prenez de l'eau aussi, ça va devenir aride. Normal, on étudie des pyramides, dans le désert.

Quelques éléments de numération en base 10

Avant de rentrer dans le vif des explications, il faut que je vous parle de numération. La numération c'est quoi ? C'est très simple. "Un système de numération est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer des nombres. Sous leur forme écrite, ces derniers sont nés, en même temps que l'écriture, de la nécessité d'organiser les récoltes, le commerce et la datation (source Wikipédia)."

En gros, ça sert à représenter et manipuler les nombres. Des systèmes de numération, il en existe plusieurs, le plus largement répandu sur Terre (ailleurs, je peux pas dire) est le système décimal. Pourquoi le système décimal ? Parce qu'il présente beaucoup d'avantages, entre autres :

  • Décimal  = 10 = nombre de doigts d'un humain normalement constitué.
  • Les nombres s'écrivent et se manipulent bien dans cette base.
  • Les opérations sur les nombres (addition/soustraction, multiplication/division) sont relativement simple à effectuer. J'en veux pour preuve qu'on les apprend à l'école primaire.

C'est ainsi que derrière des nombres qu'on a l'habitude de manipuler tous les jours se cache un système de numération mathématique en base 10. Concrètement, ça signifie que chaque nombre est décomposé sur un ensemble de nombre, qu'on appelle une base. Dans le cas du système décimal, la base est constituée des puissances de 10 (1, 10, 100, 1000, 10000, ...) : les unités, les dizaines, les centaines, les milliers, etc.

Représenter un nombre en base décimale, c'est donc le décomposer en nombre d'unités, de dizaines, de centaintes, de milliers, etc.

Un exemple pour fixer les idées. Considérons le nombre 1234. Derrière sa représentation se cache la décomposition suivante :

1234 = 1000 + 200 + 30 + 4 = 1 * 1000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 4 *1

1234 = 1 * 103 + 2 * 102 + 3 * 101 + 4 * 100.

  • Le premier chiffre de 1234, le 1, est le facteur de la puissance 3 de 10 dans la décomposition en base 10 : le chiffre des milliers.
  • Le second chiffre de 1234, le 2, est le facteur de la puissance 2 de 10 dans la décomposition en base 10 : le chiffre des centaines.
  • Le troisième chiffre de 1234, le 3, est le facteur de la puissance 1 de 10 dans la décomposition en base 10 : le chiffre des dizaines.
  • Le quatrième chiffre de 1234, le 4, est le facteur de la puissance 0 de 10 dans la décomposition en base 10 : le chiffre des unités.

D'une manière générale, tout nombre à n chiffres s'écrit en base 10 sous la forme :

a_{n-1}\times 10^{n-1}+a_{n-2}\times 10^{n-2}+...+a_1\times 10+a_0=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_k\times 10^{n-k}

Le nombre en question sera constitué des coefficient a_{k}, pour k variant de 0 à n-1 et sera noté formellement \overline{a_{n-1}...a_0}.

Exemple, pour n=4, les coefficients du nombre 1234 en base 10 sont : a_3=1,\;a_2=2,\;a_1=3,\;a_0=4.

Application à la pyramide magique en question

Revenons à notre pyramide de chiffre.

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 9876
123456 x 8 + 6 = 98765
1234567 x 8 + 7 = 987654
12345678 x 8 + 8 = 9876543
123456789 x 8 + 9 = 987654321

En utilisant la numération en base 10, on va généraliser la démarche effectuée dans les deux cas particuliers ci-dessus pour des chiffres  12...n et 98...m quelconques, avec n et m compris entre 1 et 9.

Pour formaliser tout ça, quelques notations s'imposent (c'est à ce moment que Mamie décroche...).

  • Le nombre constitué des n chiffres dans l'ordre croissant de 1 à n sera noté c_n=\overline{12...n}
  • le nombre constitué des m chiffres décroissants de 9 à m sera noté d_m=\overline{98...m}
  • le nombre de n chiffres constitué de n un consécutif sera noté e_n=\overline{1...1}.
Leurs décompositions dans le système décimal est donné par les relations suivantes :
(1) c_n=\overline{12...n}=1\times 10^{n-1}+2\times 10^{n-2}+...+n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k10^{n-k}
(2) d_m=\overline{98...m}=9\times 10^{n-1}+8\times 10^{n-2}+...+m\times 10^{10-m-k}=\displaystyle \sum_{k=1}^{10-m} (10-k)10^{10-m-k}
(3) e_n=\overline{1...10}=10^n-1+10^{n-2}+..+1=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 10^{n-k}
Quelques exemples :
  • c_4 = 1 millier + 2 centaines + 3 dizaines + 4 unités = 1\times 1000+2\times 100+3\times 10+4\times 1 = 1234
  • d_6 = 9 milliers + 8 centaines + 7 dizaines + 6 unités = 9\times 1000 + 8\times 100 + 7\times 10 + 6\times 1 = 9876
  • e_4 = 1 milliers + 1 centaine + 1 dizaine + 1 unité = 1\times 1000+1\times 100+1\times 10+1\times 1 = 1111

Avec ces notations, la n-ième ligne de la pyramide s'écrit :

c_n\times 8 + n=d_{10-n} \quad (E_n)

Par exemple, pour n=4, on a bien c_4 \times 8 +4=d_6 \iff 1234\times 8+4=9876


=== petite pause rafraîchissement ===

Le saviez-vous ? L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus. C'est le milieu de vie de la plupart des êtres vivants. Elle se trouve en général dans son état liquide et possède à température ambiante des propriétés uniques : c’est notamment un solvant efficace pour beaucoup de corps solides trouvés sur Terre — l’eau est quelquefois désignée sous le nom de « solvant universel ».

Astuce : boire de l'eau régulièrement dans le désert permet de ne pas mourir.

=== reprise du programme ===

L'objectif de ce qui suit est de démontrer que l'équation (E_n) est vraie pour n compris entre 1 et 9.

Pour cela, établissons quelques propriétés.

Propriété 1. c_n=10\times c_{n-1}+n.

Preuve : en utilisant la relation (1), on a :

c_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k10^{n-k}

c_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k10^{n-k}+n

c_n=10\times\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k10^{n-1-k}+n

c_n=10\times c_{n-1}+n. ELTEJ1.

Exemple, pour n = 4 : c_4=1234, c_3=123, et on a bien 1234=10*123+4.

Propriété 2. c_n-c_{n-1}=e_n

Preuve : en partant de la relaton (1), en n et en n-1, on a :

c_n-c_{n-1}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k10^{n-k}-\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k10^{n-1-k}

Dans la première somme on extrait le premier terme pour k=1 et dans la seconde somme on fait le changement de variable k\rightarrow k+1. On obtient

c_n-c_{n-1}=10^{n-1}+\displaystyle \sum_{k=2}^{n} k10^{n-k}-\displaystyle \sum_{k=2}^{n} (k-1)10^{n-k}

On regroupe les deux sommes sous la même sommation :

c_n-c_{n-1}=10^{n-1}+\displaystyle \sum_{k=2}^{n} (k-k+1)10^{n-k}

c_n-c_{n-1}=10^{n-1}+\displaystyle \sum_{k=2}^{n}10^{n-k}

c_n-c_{n-1}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}10^{n-k}

Et donc, d'après la relation (2), on a bien :

c_n-c_{n-1}=e_n. ELTEJ.

Exemple, pour n = 4 : c_4=1234, c_3=123, e_3=111, et on a bien 1234-123=111.

Propriété 3. 10e_n-c_n=d_{10-n}

Preuve : d'après la relation (3), on a :

d_{10-n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (10-k)10^{n-k}

d_{10-n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 10\times 10^{n-k}-\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k\times 10^{n-k}

d_{10-n}=10\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 10\times 10^{n-k}-c_n

On effectue le changement d'indice de sommation k\rightarrow n-k. On obtient :

d_{10-n}=10\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 10\times 10^{k}-c_n

Et d'après la relation (3) :

d_{10-n}=10e_n-c_n. ELTEJ.

Exemple, pour n = 4 : d_{10-4}=d_6=9876, e_4=1111, c_4=1234, et on a bien 10*1111-1234=11110-1234=9876.

On a tout ce qu'il faut maintenant pour généraliser ce qu'on a fait au début de l'article. Dans un souci pédagogique, je presente côte à côte la démarche dans le cas particulier n=3, et la même démarche dans le cas général, en suivant les mêmes étapes :

Cas général Cas n = 3
Etape 1. Ecrivons que 8=10-2 et développons :

c_n\times 8 +n = 10c_n - 2c_n + n

Etape 2. On décompose le terme 2c_n en la somme c_n+c_n :

c_n\times 8 +n = 10c_n -c_n + n -c_n

Etape 3. On décompose ensuite le premier c_n en c_n=10\times c_{n-1}+n (propriété 1)

c_n\times 8 +n =10c_n -10c_{n-1} -n - c_n

Etape 4. En mettant 10 en facteur sur 10c_n et 10c_{n-1} 120, on obtient

c_n\times 8 +n = (c_n-c_{n-1})\times 10 - c_n

Etape 5. En remarquant que c_n-c_{n-1}=e_n (propriété 2), on trouve :

c_n\times 8 +n = 10e_n - c_n

Etape 6. Or, 10e_n-c_n=d_{10-n}. D'où finalement

c_n\times 8 +n = d_{10-n}

Etape 1. Ecrivons que 8=10-2 et développons:

123\times 8 + 4 = 123\times 10-123\times 2+4

Etape 2. On décompose le terme 2*123 en la somme 123+123 :

123\times 8 +3 = 123\times 10-123+3-123

Etape 3. On décompose ensuite le premier 123 en 123=10*12+3

123\times 8 +3=123\times 10-12\times 10-3+3-123

Etape 4. En mettant 10 en facteur sur 1230 et 120, on obtient

123\times 8 +3=(123-12)\times 10-3+3-123

Etape 5. En remarquant que 123-12=111, on trouve :

123\times 8 +3=111\times 10-123

Etape 6. Or, 111*10-123=1110-123=987. D'où finalement

123\times 8 +3=987

Et voilà, le mystère de la pyramide magique en base 10 est résolu.

Pour les plus motivés de mes lecteurs : saurez-vous trouver un équivalent en base 2 ou en base 8 ?

  1. Et le tour est joué
 Posted by at 19 h 52 min
nov 032011
 

Le "problème du bourdon" vous connaissez ? C'est un grand classique des problèmes de mathématiques accessible dès le collège.

Voici l'énoncé :

Deux trains roulent l'un vers l'autre sur deux rails parallèles, à la même vitesse. Un bourdon (ou une mouche, ou toute bestiole volante capable de rouler plus vite que des trains...) s'amuse à faire l'aller-retour entre les deux trains. Au début de l'expérience, les trains sont séparés d'une distance donnée. Le but est de calculer la distance parcourue par le bourdon jusqu'à ce les trains se croisent.

Ce qui est étonnant avec ce problème c'est que :
1. un non mathématicien va trouver un raisonnement très simple pour résoudre le problème en trois lignes ;
2. un mathématicien pense tout de suite à un sombre calcul de limite de série...

Et comme, je suis un peu mathématicien sur les bords, je vous propose la résolution compliquée avec une dose de bonne humeur et adaptée avec l'actualité du moment.

Sommaire

Définition du problème | Notations | Analyse du problème | Calcul des instants de rencontres | Calcul de la distance parcourue | Retour au problème initial | Application numérique | Conclusion | Pour aller plus loin

Définition du problème

L'un des trains sera remplacé par le super-héro "Kid Flash" qui a la formidable aptitude de se déplacer à des vitesses proches de la célérité de la lumière. On supposera donc que Kid Flash se déplace à la vitesse c constante, sur une trajectoire rectiligne, d'un point O vers un point A situé à une distance D, à l'autre bout de l'Univers (cf schéma ci-après).

 

Le bourdon sera substitué par un autre super-héro "Jimmy Neutron" à qui je prêterai, à titre exceptionnel dans le contexte de cet article, puisse-t-il me pardonner, la capacité de se déplacer à la vitesse d'un neutrino, supérieure à celle de la lumière si l'on en croit les actualités récentes du CERN. On supposera que Jimmy se déplace à la vitesse c' sur la même ligne reliant le point O au point A.

Kid Flash et Jimmy Neutron partent ensemble du point O.

Ainsi, pendant que le valeureux Kid Flash fait sa promenade à travers l'Univers, l'impétueux Jimmy Neutron effectue des aller-retours entre son collègue et le point A.

L'objectif est de calculer la distance totale parcourue par Jimmy Neutron jusqu'à ce que Kid Flash atteigne son point d'arrivée.

Le problème obtenu est équivalent au problème original avec deux trains et un bourdon, mais les calculs sont plus simples.

Remarque : je sens venir les physiciens relativistes. OUI, je suppose que la mécanique Newtonienne reste valable pour des valeurs de c et c' proches de la célérité de la lumière, et OUI, c'est de la science-fiction.

Passons maintenant aux choses sérieuses...

Notations

La droite (OA) est orientée positivement du point O vers le point A.
Soient ensuite,

  •  x(t) : la position de Kid Flash à un instant t. Kiddy se déplaçant à la vitesse c de O vers A, on a immédiatement x(t)=c\times t.
  • t_n : le temps correspondant à la n-ième rencontre des deux super-héros, et on pose t_0=0 et x_n=x(t_n).
  • d(t)=D-x(t), la distance restant à parcourir par Kid Flash à un instant t pour atteindre A. On pose d_n=D-x_n, la distance séparant les deux protagonistes de A au n-ième point de rencontre. On a donc d_n=D-ct_n (1).
  • D_n : la distance totale parcourue par Jimmy au n-ième point de rencontre.
  • D' : la distance parcourue par Jimmy Neutron quand Kid Flash atteint son point d'arrivée.

Analyse du problème


Pendant que Jimmy va de O vers A puis revient chatouiller les narines de Kid Flash, ce dernier avance et continue son chemin. A chaque rencontre, Kid Flash se rapproche de son point d'arrivée alors que Jimmy effectue des allers-retours de plus en plus court. La distance parcourue par Jimmy Neutron à la n-ième rencontre est donc la somme des longueurs des allers-retours qu'il a effectué.

Détaillons un peu. Au premier point de rencontre, Mr Neutron a parcouru la distance D pour aller en A, puis il revient vers Kid Flash et l'atteint après avoir parcouru la distance D-x_1, donc la distance totale parcourue par Jimmy au moment du premier point de recontre est :

D_1=D+(D-x_1)=D+d_1.

Au second point de rencontre, Jimmy parcourt la distance D-x_1 pour aller en A, puis il revient vers Kid Flash et l'atteint après avoir parcouru la distance D-x_2, donc

D_2=D_1+(D-x_1)+(D-x_2)=D+2d_1+d_2.

En généralisant au rang n1, on obtient :

D_n=D+2\displaystyle\sum \limits_{k=1}^{n-1} d_k+d_n,

ce qu'on réécrit pour simplifier sous la forme

D_n=2\displaystyle\sum \limits_{k=0}^{n} d_k-(d_0+d_n) (2).

La distance D' à calculer est donc la limite quand n tend vers l'infini de la somme des distances parcourue par Jimmy Neutron :

D'=\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}D_n.

Or, d_n=D-ct_n. Il ne nous reste plus qu'à calculer les expressions des instants de rencontres t_n. C'est là que ça se corse un poil.

Calcul des instants de rencontres

Entre deux rencontres consécutives, c'est à dire entre les instants t_n et t_{n+1}, Kid Flash parcourt la distance x_{n+1}-x_n, et Jimmy Neutron parcourt la distance d_n+d_{n+1}. Le temps s'écoulant à la même vitesse pour tout le monde2, on a donc :

\displaystyle\frac{x_{n+1}-x_n}{c}=\frac{d_n+d_{n+1}}{c'}.

Grâce à la relation (1) (cf section notations), on obtient après quelques lignes de calcul3 :

t_{n+1}=\displaystyle\frac{c'-c}{c'+c}t_n+\frac{2D}{c'+c}.

Posons nous un moment sur cette relation. C'est une relation de récurrence affine, ni géométrique, ni arithmétique. C'est en fait une relation de récurrence arithmético-géométrique du type

t_{n+1}=\alpha t_n+\beta, avec \alpha=\displaystyle\frac{c'-c}{c'+c} et \beta=\displaystyle\frac{2D}{c'+c}.

Ce type de relation se rencontre fréquemment dans la modélisation des flux (d'argent ou de population)4.

Pour obtenir le terme général d'une suite de ce type, on pose u_n=t_n+\gamma avec \gamma=\displaystyle\frac{\beta}{\alpha-1}, et on démontre5 que u_n est une suite géométrique de raison \alpha et de premier terme u_0=t_0+\gamma=\gamma. On obtient donc le terme général u_n=\gamma\alpha^n, et en inversant la relation on trouve :

t_n=\gamma(1-\alpha^n) (3)

avec, dans notre cas, \gamma=\displaystyle\frac{D}{c}.

Maintenant qu'on a trouvé l'expression de nos temps de rencontres, il ne nous reste plus qu'à injecter tout ça dans la relation (2) pour conclure.

Calcul de la distance parcourue

Revenons un peu en arrière.

On a d_n=D-ct_n, d'où, en injectant l'expression obtenue précédemment pour t_n,

d_n=D\alpha^n \quad (4).

Dans la relation (2), on a le terme \displaystyle\sum \limits_{k=0}^{n} d_k. C'est la somme des (n+1) premiers termes d'une suite géométrique de raison \alpha et de premier terme d_0. Elle vaut donc

\displaystyle\sum \limits_{k=0}^{n} d_k=d_0\displaystyle\frac{1-\alpha^{n+1}}{1-\alpha} \quad (5).

En injectant les relations (4) et (5) dans (2), on obtient, après quelques lignes de calcul6 :

D_n=\displaystyle\frac{c'}{c}D(1-\alpha^n) (6).

Comme \alpha<1, \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\alpha^n=0, et par conséquent :

D'=\displaystyle\frac{c'}{c}D.

Retour au problème initial

Afin de valider les résultats obtenus, je vous propose la solution simple. Le processus prend fin lorsque Kid Flash atteint le point A. Comme il voyage à la vitesse c, il met le temps T=D/c, pour parcourir cette distance.

Première remarque : on retrouve bien que \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}t_n=\gamma=\frac{D}{c}=T.

Pendant ce temps T, Jimmy Neutron aura donc parcouru à la vitesse c', la distance c'\times T, ce qui donne bien le résultat annoncé : D'=\displaystyle\frac{c'}{c}D.

Application numérique

Avec

  • D= 1 année lumière soit environ 9500 milliard de km ;
  • c= célérité de la lumière, soit environ 300 000 km/s ;
  • c'= 300.006 km/s.
On obtient :
  • T= 31666666,6667 s = environ une année (normal...)
  • D'= 9500,19 milliard de km.
  •   n t_n (en secondes) x_n (en km) d_n (en km) D_n (en km)
      1   3,166 635 000 320 . 107 9 499 905 000 950 0,94 9 500 094 999 050
      2   3,166 666 663 500 . 107 9 499 999 999 050 9 500 . 10-9 9 500 189 999 050
      3   3,166 666 666 667 . 107 ~ 9 500 000 000 000 ~ 0 ~ 9 500 190 000 000

Conclusion

L'écart relatif de vitesse entre Kid Flash et Jimmy Neutron est tellement faible (0,02 %) qu'il suffit de trois rencontres très rapprochées du point A pour que le processus touche à sa fin (en arrondissant).

Jimmy Neutron aura uniquement parcouru quelques 190 millions de km en plus que Kid Flash.

Pour conclure, ce frimeur de Jimmy Neutron a beau aller plus vite que Kid Flash, il y a encore de la marge avant qu'il lui foute une raclée au 100 mètres haies.

Pour aller plus loin...

En vérité, Jimmy Neutron ne peut pas du tout se déplacer à la vitesse d'un neutrino ou d'un photon. Tout au mieux, à une vitesse moyenne de coureur d'ultrafond, on aura c'=6 km/h sur la distance d'un marathon, D= 42,195 km.

Les rôles sont alors inversés : c'est Kid Flash qui va pouvoir narguer ce molasson de Neutron.

On considère que le processus prend lorsque la distance restant à parcourir par Jimmy devient inférieure à 1 mètre.

Question 1 : au bout de combien d'allers-retours de Kid Flash le processus prend-il fin ?

Question 2 : quelle est alors la distance qu'il a parcourue ?

  1. je laisse le soin aux lecteurs de le démontrer par récurrence, c'est trivial
  2. c'est valable sous l'hypothèse que j'ai rappelé dans ma remarque au début de l'article.
  3. idem, je laisse le soin aux lecteurs de le vérifier, c'est trivial...
  4. voir cet article sur techno-science.net : suite arithmético-géométrique.
  5. c'est trivial...
  6. c'est... presque trivial...
oct 292011
 

Récemment je suis tombé sur cette image via festimaths :

La question est en anglais. Je traduis (au mieux1) :

Si vous choisissez une réponse au hasard à cette question, quelle est la probabilité que vous ayez choisi celle qui est correcte ?
A) 25 %
B) 50 %
C) 60%
D) 25 %

Bon, premièrement, on reste perplexe quelques secondes, voire quelques minutes. Puis on crie au scandale parce qu'on n'y comprend rien ! Outre l'humour mathématique de degré probablement supérieur à deux2 que ce paradoxe recèle, on est face à un dilemne difficile à résoudre.

On peut glaner sur internet quelques propositions du genre "on a 1 chance sur 2 d'avoir 1 chance sur 4", ou alors "on choisit la bonne réponse en prenant la réponse A) et D)". Rien de vraiment satisfaisant.

Après avoir fait quelques recherches, j'ai trouvé des éléments de réponses ici (en anglais). Cette gentille question semble similaire au paradoxe de Russell ou au paradoxe du menteur. En bref, une ambiguïté naît de la confusion entre le langage et le métalangage (celui qui parle du langage dans lequel il parle au moment où il parle), mais je suis bien en peine de pouvoir l'expliquer à mes adorables lecteurs avec mes petits neurones.

Si un expert logicien passe par ici pour nous éclairer...

  1. je suis ouvert à toute traduction meilleure que celle-là
  2. voir à ce propos cet excellent papier "Pourquoi est-il si difficile de calculer le degré d'une blague mathématique", Dimitri Karpov, Minos Libbouet, Roland Triedich
sept 042011
 

Flow Soonlasting, professeur de maths à l'Université Gaullienne des Sciences en la ville fleurie de Lutèce, capitale de l'Union Républicaine des Socialistes Réunis (URSR) est soucieux. Il a du mal à s'endormir. Alors que ses pensées tournent en rond, il décide de détourner son attention en comptant les moutons.

Sauf que, pour un mathématicien de son niveau, ça devient vite très ennuyeux... alors il se met à compter les "deux puissance moutons"... voici ce qu'il s'est passé dans sa tête par la suite.

Un mouton, deux moutons, trois moutons, ..., 100 moutons, ... [une heure plus tard], 112 457 moutons, ... bon ! Nan vraiment, compter les moutons c'est chiant. Je vais compter les puissances de deux moutons :

2pas de moutons = 1 mouton,
21 mouton = 2 moutons,
22 moutons = 4 moutons,
23 moutons = 8 moutons...

Les moutons sautent la barrière par puissance de 2

Tiens en fait, compter les "deux puissance moutons" ça revient à considérer qu'à chaque saut de barrière, on double le nombre de moutons. Formalisons ça un peu. Pour obtenir le nombre de moutons qui sautent la barrière la nième fois, je multiplie par deux le nombre de moutons ayant sauté à l'étape précédente. Cela me donne la succession dans l'ordre des puissances de deux :

Numéro du saut 1 2 3 4 ... n n+1 ...
Nombre de moutons
sautant la barrière
1 2 4 8 ... 2^{n-1} 2^n ...

 

Tiens, je pourrais construire une suite pour calculer le nombre de moutons sautant la barrière à l'étape n. Je vais l'appeler (u). Avec cette notation, j'ai une relation de récurrence entre le saut de barrière de rang n+1 et celui de rang précédent n :

 u_{n+1}=2\times u_n.

Ah ben tiens ! ça je connais ! c'est une suite géométrique de raison 2. Je peux en déduire explicitement le nième terme de la suite u_n en fonction du numéro du saut n et du premier terme de la suite. La formule générale c'est :

nième terme de la suite = premier terme de la suite x (la raison)^(indice du terme de la suite-1),

ce que je peux traduire mathématiquement par :

u_n=u_1\times q^{n-1},

u_1 désigne le premier terme de la suite et q la raison. Donc ici, u_1, c'est le nombre de moutons au premier saut, c'est à dire 1 : u_1=1. La raison, c'est facile, c'est 2, donc q=2.
Finalement, j'obtiens [un premier baillement...] :

u_n=1 \times 2^{n-1} = 2^{n-1}.

Et voilà ! le nième groupe de mouton qui va sauter la barrière est constitué de 2^{n-1} moutons.

Ah oui, un autre truc marrant à compter : le nombre de moutons qui auront sauté la barrière au nième saut. Mhhh réfléchissons un peu... ça doit faire un truc du genre 1+2+4+8+...+2^{n-1}.

C'est tout simplement la somme des termes de la suite u_n de 1 à n : u_1+u_2+u_3+u_4+...+u_n. Ah ben ça tombe bien, pour les suites géométriques, j'ai une formule tout faite pour ça. Appelons cette somme S_n. Alors,

 S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+...+u_n=u_1\times\frac{1-q^{n-1}}{1-q},

u_1, c'est toujours le premier terme, donc 1, et q toujours la raison, donc 2. Faut que je fasse gaffe, car S_n contient n termes et désigne le nombre de moutons qui sont de l'autre côté de la barrière après le nième saut. Donc ça me donne, en appliquant la formule et après un peu de calcul mental élémentaire [second baillement...] :

 S_n = 2^n -1.

Le troupeau de l'autre côté de la barrière après le nième saut est constitué de 2^n-1 moutons.

Donc, par exemple, au 3ème saut de barrière, j'ai u_3=2^{3-1}=4 moutons qui vont sauter et qui vont rejoindre les S_2=2^2-1=3 moutons qui ont déjà sauté, ce qui fera S_3=S_2+u_3=2^3-1=7 moutons en tout [troisième baillement...].

Si je fait la même chose pour le 10ème saut, ça va me faire un joli groupe de u_{10}=512 moutons, qui vont rejoindre les S_9=511 moutons qui ont déjà sauté, et après le saut ça me fera un beau troupeau de [quatrième baillement...] S_{10}=1023 moutons !

Au bout de 10 sauts, ça en fait des moutons...

Tiens... mais qu'est-ce qu'il a ce mouton à me regarder bizarrement comme ça. Mais... mais, qu'es-ce qu'ils ont TOUS à me fixer avec leurs yeux d'ovins ! Ah, mais arrêtez ! C'est flippant ! Pourquoi vous courrez ? Pourquoi vous courrez tous vers moi en bêlant ! Ahh ! A MOI ! Je me fais agresser par des moutons ! Ah ! Et voilà qu'ils se mettent à sonner maintenant ! Un mouton c'est censé bêler, par sonner ! Vous êtes pas censés imiter la sonnerie de mon réveil ! Mon réveil ? tiens... euh... quelle heure est-il au fait ? 3h42... pfff... c'était juste une mauvais rêve...

Maintenant que je suis réveillé... je vais pouvoir compter les "trois puissance mouton"...

août 022011
 

 

Planète Gaïa, dans la République de Gaulle, année 2011 du Nouveau Calendrier Stellaire, l'Union Républicaine des Socialistes Réunis (URSR) a gagné les dernières élections planétaires et a imposé sa nouvelle politique du temps de travail. Désormais les salariés de toutes les nations devront prendre 3 jours de repos à la fin de chaque semaine : le vendredi, le samedi et le dimanche. Dans ce contexte social épanoui, la société du loisir fleurit et les jeux de logiques vont bon train...1 Continue reading »

  1. ce contexte relève bien évidemment de la science-fiction, et toute ressemblance avec des faits passés, présents ou à venir, ou des opinions personnelles serait bien évidemment le pur fruit du hasard... []
sept 012008
 

Des maths comme on aimerait les voir plus souvent.

Voici la bande-annonce d'un film de près de deux heures que vous pouvez télécharger ici : www.dimensions-math.org. On nous explique les dimensions 2 et 3 et même la dimension 4, on parcourt les nombres complexes et bien d'autres surprises !

mar 052008
 

J'imagine qu'au long de votre scolarité, on vous a toujours dit "Il est interdit formellement interdit de diviser par zéro !". Et comme d'autres choses, vous avez avalé ça, sans vous poser plus de questions. Pourtant, c'est assez embêtant ! Quand on fait du calcul algébrique, il faut toujours faire attention, quand on veut diviser par un machin ou simplifier par un truc, si on n'est pas en train de diviser par zéro sans s'en rendre compte. Comme dans cette énigme, par exemple : "1 = 2 ?". Continue reading »

fév 022008
 

Loin d'être une froide et laide, la science sait se faire belle et séduisante. L'art fractal est pour moi l'une des plus belles illustrations de ceci.Voici deux sites présentant plusieurs galeries de fractales absolument splendides :

Un petit exemple pour vous mettre l'eau à la bouche :

Big Bang

Allez voir ça (les liens sont au-dessus), je peux vous assurer que vous allez en prendre plein les mirettes !

oct 312007
 

En topologie, le ruban de Möbius (aussi appelé bande de Möbius) est une surface fermée dont le bord se réduit à un cercle. Le ruban de Möbius alimente également, de par sa particularité, des débats en philosophie. Les spéculations dont il peut faire l'objet ont ainsi inspiré le célèbre psychanalyste Jacques Lacan (source : wikipédia).

Voici une excellente vidéo que j'ai trouvée sur le site de Blog à Maths et qui illustre ses étranges propriétés autour de quelques coups de collage, de crayons et de ciseaux.

N'essayez pas trop de comprendre, ça fout le mal de crâne...

No Magic At All: Mobius Strip - video powered by Metacafe

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