nov 032011
 

Le "problème du bourdon" vous connaissez ? C'est un grand classique des problèmes de mathématiques accessible dès le collège.

Voici l'énoncé :

Deux trains roulent l'un vers l'autre sur deux rails parallèles, à la même vitesse. Un bourdon (ou une mouche, ou toute bestiole volante capable de rouler plus vite que des trains...) s'amuse à faire l'aller-retour entre les deux trains. Au début de l'expérience, les trains sont séparés d'une distance donnée. Le but est de calculer la distance parcourue par le bourdon jusqu'à ce les trains se croisent.

Ce qui est étonnant avec ce problème c'est que :
1. un non mathématicien va trouver un raisonnement très simple pour résoudre le problème en trois lignes ;
2. un mathématicien pense tout de suite à un sombre calcul de limite de série...

Et comme, je suis un peu mathématicien sur les bords, je vous propose la résolution compliquée avec une dose de bonne humeur et adaptée avec l'actualité du moment.

Sommaire

Définition du problème | Notations | Analyse du problème | Calcul des instants de rencontres | Calcul de la distance parcourue | Retour au problème initial | Application numérique | Conclusion | Pour aller plus loin

Définition du problème

L'un des trains sera remplacé par le super-héro "Kid Flash" qui a la formidable aptitude de se déplacer à des vitesses proches de la célérité de la lumière. On supposera donc que Kid Flash se déplace à la vitesse c constante, sur une trajectoire rectiligne, d'un point O vers un point A situé à une distance D, à l'autre bout de l'Univers (cf schéma ci-après).

 

Le bourdon sera substitué par un autre super-héro "Jimmy Neutron" à qui je prêterai, à titre exceptionnel dans le contexte de cet article, puisse-t-il me pardonner, la capacité de se déplacer à la vitesse d'un neutrino, supérieure à celle de la lumière si l'on en croit les actualités récentes du CERN. On supposera que Jimmy se déplace à la vitesse c' sur la même ligne reliant le point O au point A.

Kid Flash et Jimmy Neutron partent ensemble du point O.

Ainsi, pendant que le valeureux Kid Flash fait sa promenade à travers l'Univers, l'impétueux Jimmy Neutron effectue des aller-retours entre son collègue et le point A.

L'objectif est de calculer la distance totale parcourue par Jimmy Neutron jusqu'à ce que Kid Flash atteigne son point d'arrivée.

Le problème obtenu est équivalent au problème original avec deux trains et un bourdon, mais les calculs sont plus simples.

Remarque : je sens venir les physiciens relativistes. OUI, je suppose que la mécanique Newtonienne reste valable pour des valeurs de c et c' proches de la célérité de la lumière, et OUI, c'est de la science-fiction.

Passons maintenant aux choses sérieuses...

Notations

La droite (OA) est orientée positivement du point O vers le point A.
Soient ensuite,

  •  x(t) : la position de Kid Flash à un instant t. Kiddy se déplaçant à la vitesse c de O vers A, on a immédiatement x(t)=c\times t.
  • t_n : le temps correspondant à la n-ième rencontre des deux super-héros, et on pose t_0=0 et x_n=x(t_n).
  • d(t)=D-x(t), la distance restant à parcourir par Kid Flash à un instant t pour atteindre A. On pose d_n=D-x_n, la distance séparant les deux protagonistes de A au n-ième point de rencontre. On a donc d_n=D-ct_n (1).
  • D_n : la distance totale parcourue par Jimmy au n-ième point de rencontre.
  • D' : la distance parcourue par Jimmy Neutron quand Kid Flash atteint son point d'arrivée.

Analyse du problème


Pendant que Jimmy va de O vers A puis revient chatouiller les narines de Kid Flash, ce dernier avance et continue son chemin. A chaque rencontre, Kid Flash se rapproche de son point d'arrivée alors que Jimmy effectue des allers-retours de plus en plus court. La distance parcourue par Jimmy Neutron à la n-ième rencontre est donc la somme des longueurs des allers-retours qu'il a effectué.

Détaillons un peu. Au premier point de rencontre, Mr Neutron a parcouru la distance D pour aller en A, puis il revient vers Kid Flash et l'atteint après avoir parcouru la distance D-x_1, donc la distance totale parcourue par Jimmy au moment du premier point de recontre est :

D_1=D+(D-x_1)=D+d_1.

Au second point de rencontre, Jimmy parcourt la distance D-x_1 pour aller en A, puis il revient vers Kid Flash et l'atteint après avoir parcouru la distance D-x_2, donc

D_2=D_1+(D-x_1)+(D-x_2)=D+2d_1+d_2.

En généralisant au rang n1, on obtient :

D_n=D+2\displaystyle\sum \limits_{k=1}^{n-1} d_k+d_n,

ce qu'on réécrit pour simplifier sous la forme

D_n=2\displaystyle\sum \limits_{k=0}^{n} d_k-(d_0+d_n) (2).

La distance D' à calculer est donc la limite quand n tend vers l'infini de la somme des distances parcourue par Jimmy Neutron :

D'=\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}D_n.

Or, d_n=D-ct_n. Il ne nous reste plus qu'à calculer les expressions des instants de rencontres t_n. C'est là que ça se corse un poil.

Calcul des instants de rencontres

Entre deux rencontres consécutives, c'est à dire entre les instants t_n et t_{n+1}, Kid Flash parcourt la distance x_{n+1}-x_n, et Jimmy Neutron parcourt la distance d_n+d_{n+1}. Le temps s'écoulant à la même vitesse pour tout le monde2, on a donc :

\displaystyle\frac{x_{n+1}-x_n}{c}=\frac{d_n+d_{n+1}}{c'}.

Grâce à la relation (1) (cf section notations), on obtient après quelques lignes de calcul3 :

t_{n+1}=\displaystyle\frac{c'-c}{c'+c}t_n+\frac{2D}{c'+c}.

Posons nous un moment sur cette relation. C'est une relation de récurrence affine, ni géométrique, ni arithmétique. C'est en fait une relation de récurrence arithmético-géométrique du type

t_{n+1}=\alpha t_n+\beta, avec \alpha=\displaystyle\frac{c'-c}{c'+c} et \beta=\displaystyle\frac{2D}{c'+c}.

Ce type de relation se rencontre fréquemment dans la modélisation des flux (d'argent ou de population)4.

Pour obtenir le terme général d'une suite de ce type, on pose u_n=t_n+\gamma avec \gamma=\displaystyle\frac{\beta}{\alpha-1}, et on démontre5 que u_n est une suite géométrique de raison \alpha et de premier terme u_0=t_0+\gamma=\gamma. On obtient donc le terme général u_n=\gamma\alpha^n, et en inversant la relation on trouve :

t_n=\gamma(1-\alpha^n) (3)

avec, dans notre cas, \gamma=\displaystyle\frac{D}{c}.

Maintenant qu'on a trouvé l'expression de nos temps de rencontres, il ne nous reste plus qu'à injecter tout ça dans la relation (2) pour conclure.

Calcul de la distance parcourue

Revenons un peu en arrière.

On a d_n=D-ct_n, d'où, en injectant l'expression obtenue précédemment pour t_n,

d_n=D\alpha^n \quad (4).

Dans la relation (2), on a le terme \displaystyle\sum \limits_{k=0}^{n} d_k. C'est la somme des (n+1) premiers termes d'une suite géométrique de raison \alpha et de premier terme d_0. Elle vaut donc

\displaystyle\sum \limits_{k=0}^{n} d_k=d_0\displaystyle\frac{1-\alpha^{n+1}}{1-\alpha} \quad (5).

En injectant les relations (4) et (5) dans (2), on obtient, après quelques lignes de calcul6 :

D_n=\displaystyle\frac{c'}{c}D(1-\alpha^n) (6).

Comme \alpha<1, \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\alpha^n=0, et par conséquent :

D'=\displaystyle\frac{c'}{c}D.

Retour au problème initial

Afin de valider les résultats obtenus, je vous propose la solution simple. Le processus prend fin lorsque Kid Flash atteint le point A. Comme il voyage à la vitesse c, il met le temps T=D/c, pour parcourir cette distance.

Première remarque : on retrouve bien que \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}t_n=\gamma=\frac{D}{c}=T.

Pendant ce temps T, Jimmy Neutron aura donc parcouru à la vitesse c', la distance c'\times T, ce qui donne bien le résultat annoncé : D'=\displaystyle\frac{c'}{c}D.

Application numérique

Avec

  • D= 1 année lumière soit environ 9500 milliard de km ;
  • c= célérité de la lumière, soit environ 300 000 km/s ;
  • c'= 300.006 km/s.
On obtient :
  • T= 31666666,6667 s = environ une année (normal...)
  • D'= 9500,19 milliard de km.
  •   n t_n (en secondes) x_n (en km) d_n (en km) D_n (en km)
      1   3,166 635 000 320 . 107 9 499 905 000 950 0,94 9 500 094 999 050
      2   3,166 666 663 500 . 107 9 499 999 999 050 9 500 . 10-9 9 500 189 999 050
      3   3,166 666 666 667 . 107 ~ 9 500 000 000 000 ~ 0 ~ 9 500 190 000 000

Conclusion

L'écart relatif de vitesse entre Kid Flash et Jimmy Neutron est tellement faible (0,02 %) qu'il suffit de trois rencontres très rapprochées du point A pour que le processus touche à sa fin (en arrondissant).

Jimmy Neutron aura uniquement parcouru quelques 190 millions de km en plus que Kid Flash.

Pour conclure, ce frimeur de Jimmy Neutron a beau aller plus vite que Kid Flash, il y a encore de la marge avant qu'il lui foute une raclée au 100 mètres haies.

Pour aller plus loin...

En vérité, Jimmy Neutron ne peut pas du tout se déplacer à la vitesse d'un neutrino ou d'un photon. Tout au mieux, à une vitesse moyenne de coureur d'ultrafond, on aura c'=6 km/h sur la distance d'un marathon, D= 42,195 km.

Les rôles sont alors inversés : c'est Kid Flash qui va pouvoir narguer ce molasson de Neutron.

On considère que le processus prend lorsque la distance restant à parcourir par Jimmy devient inférieure à 1 mètre.

Question 1 : au bout de combien d'allers-retours de Kid Flash le processus prend-il fin ?

Question 2 : quelle est alors la distance qu'il a parcourue ?

  1. je laisse le soin aux lecteurs de le démontrer par récurrence, c'est trivial
  2. c'est valable sous l'hypothèse que j'ai rappelé dans ma remarque au début de l'article.
  3. idem, je laisse le soin aux lecteurs de le vérifier, c'est trivial...
  4. voir cet article sur techno-science.net : suite arithmético-géométrique.
  5. c'est trivial...
  6. c'est... presque trivial...
juil 152008
 

Voici deux vidéos de simulation d'impact d'une goutte d'eau sur une surface liquide immobile que j'ai trouvées sur dailymotion.

Les deux simulations ont été réalisées l'outil "Fluids Simulation" de blender (logiciel libre d'animation, modélisation et rendu 3D).

L'implémentation a été réalisée pendant un Google Summer of Code et utilise la méthode de Lattice-Boltzman, qui est une sorte d'automate cellulaire pour simuler le comportement macroscopique des fluides. Continue reading »

mai 122008
 

Ante scriptum : J'aurais aimé continué l'aventure pendant encore un chapitre entier consacré à la thématique de la stabilité de l'écoulement. Cependant, ce travail de vulgarisation de ma thèse demande beaucoup de temps et j'en manque cruellement en ce moment. Il m'aurait demandé d'autant plus de temps que le dernier chapitre aurait été de loin le plus complexe et le plus technique. Pour que la série ne s'éternise pas dans le temps et ne pas perdre mes lecteurs, je préfère la clore sur cet article qui ne fait qu'aborder le sujet de la stabilité des écoulements et donne les grandes lignes des principaux résultats de mes travaux. L'épisode précédent est ici : Expliquer ma thèse à Mamie #11 : le lien écoulement-spectre Continue reading »

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nov 182007
 

Mamie, Papy et Ptifils sont réunis dans le salon autour du feu de cheminée. La dernière fois, Ptifils a expliqué à Mamie les caractéristiques principales de l'écoulement qui se déroule dans la cavité du bec ainsi que celles du spectre. Aujourd'hui c'est un peu le dénouement de l'histoire. Tous les éléments vont se rassembler pour former un tout. Une fois ce tout reconstitué, le contexte de ma thèse sera complètement posé. Continue reading »

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nov 182007
 

Plusieurs semaines se sont écoulées depuis l'accident de voiture. Chacun s'est remis de ses petits bobos et cette histoire n'est plus qu'un mauvais souvenir. L'hiver est tombé d'un coup d'un seul. Une ouate épaisse blanche et cotonneuse recouvre la campagne comme un manteau. Mamie et Ptifils, chaudement habillés, devisent chemin faisant sous le ciel bleu immaculé. Leur pas émettent le bruit caractéristiques des chaussures s'enfonçant dans la neige : un léger crissement étouffé. Scrouitch Scrouitch. Haut dans le ciel, un avion passe, laissant derrière lui une trainée blanche de gaz gelés et un léger vrombissement. Mamie se rappelle de toutes ces histoires de bruit d'avion. Ptifils, quand à lui, voit des ondes sonores qui se propagent sous la forme de petites variations de pression dans l'air, atteignent l'oreille, puis le cerveau qui retranscrit ces informations en un son bien particulier. Il voit le son se décomposer dans ces composantes fondamentales, chacune ayant une intensité propre déterminant le timbre du son. Il se dit qu'il devrait parfois arrêter de tout décortiquer avec son œil de scientifique et utiliser un peu plus son œil du dedans, son œil sensible à la beauté du monde. Continue reading »

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