sept 042011
 

Flow Soonlasting, professeur de maths à l'Université Gaullienne des Sciences en la ville fleurie de Lutèce, capitale de l'Union Républicaine des Socialistes Réunis (URSR) est soucieux. Il a du mal à s'endormir. Alors que ses pensées tournent en rond, il décide de détourner son attention en comptant les moutons.

Sauf que, pour un mathématicien de son niveau, ça devient vite très ennuyeux... alors il se met à compter les "deux puissance moutons"... voici ce qu'il s'est passé dans sa tête par la suite.

Un mouton, deux moutons, trois moutons, ..., 100 moutons, ... [une heure plus tard], 112 457 moutons, ... bon ! Nan vraiment, compter les moutons c'est chiant. Je vais compter les puissances de deux moutons :

2pas de moutons = 1 mouton,
21 mouton = 2 moutons,
22 moutons = 4 moutons,
23 moutons = 8 moutons...

Les moutons sautent la barrière par puissance de 2

Tiens en fait, compter les "deux puissance moutons" ça revient à considérer qu'à chaque saut de barrière, on double le nombre de moutons. Formalisons ça un peu. Pour obtenir le nombre de moutons qui sautent la barrière la nième fois, je multiplie par deux le nombre de moutons ayant sauté à l'étape précédente. Cela me donne la succession dans l'ordre des puissances de deux :

Numéro du saut 1 2 3 4 ... n n+1 ...
Nombre de moutons
sautant la barrière
1 2 4 8 ... 2^{n-1} 2^n ...

 

Tiens, je pourrais construire une suite pour calculer le nombre de moutons sautant la barrière à l'étape n. Je vais l'appeler (u). Avec cette notation, j'ai une relation de récurrence entre le saut de barrière de rang n+1 et celui de rang précédent n :

 u_{n+1}=2\times u_n.

Ah ben tiens ! ça je connais ! c'est une suite géométrique de raison 2. Je peux en déduire explicitement le nième terme de la suite u_n en fonction du numéro du saut n et du premier terme de la suite. La formule générale c'est :

nième terme de la suite = premier terme de la suite x (la raison)^(indice du terme de la suite-1),

ce que je peux traduire mathématiquement par :

u_n=u_1\times q^{n-1},

u_1 désigne le premier terme de la suite et q la raison. Donc ici, u_1, c'est le nombre de moutons au premier saut, c'est à dire 1 : u_1=1. La raison, c'est facile, c'est 2, donc q=2.
Finalement, j'obtiens [un premier baillement...] :

u_n=1 \times 2^{n-1} = 2^{n-1}.

Et voilà ! le nième groupe de mouton qui va sauter la barrière est constitué de 2^{n-1} moutons.

Ah oui, un autre truc marrant à compter : le nombre de moutons qui auront sauté la barrière au nième saut. Mhhh réfléchissons un peu... ça doit faire un truc du genre 1+2+4+8+...+2^{n-1}.

C'est tout simplement la somme des termes de la suite u_n de 1 à n : u_1+u_2+u_3+u_4+...+u_n. Ah ben ça tombe bien, pour les suites géométriques, j'ai une formule tout faite pour ça. Appelons cette somme S_n. Alors,

 S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+...+u_n=u_1\times\frac{1-q^{n-1}}{1-q},

u_1, c'est toujours le premier terme, donc 1, et q toujours la raison, donc 2. Faut que je fasse gaffe, car S_n contient n termes et désigne le nombre de moutons qui sont de l'autre côté de la barrière après le nième saut. Donc ça me donne, en appliquant la formule et après un peu de calcul mental élémentaire [second baillement...] :

 S_n = 2^n -1.

Le troupeau de l'autre côté de la barrière après le nième saut est constitué de 2^n-1 moutons.

Donc, par exemple, au 3ème saut de barrière, j'ai u_3=2^{3-1}=4 moutons qui vont sauter et qui vont rejoindre les S_2=2^2-1=3 moutons qui ont déjà sauté, ce qui fera S_3=S_2+u_3=2^3-1=7 moutons en tout [troisième baillement...].

Si je fait la même chose pour le 10ème saut, ça va me faire un joli groupe de u_{10}=512 moutons, qui vont rejoindre les S_9=511 moutons qui ont déjà sauté, et après le saut ça me fera un beau troupeau de [quatrième baillement...] S_{10}=1023 moutons !

Au bout de 10 sauts, ça en fait des moutons...

Tiens... mais qu'est-ce qu'il a ce mouton à me regarder bizarrement comme ça. Mais... mais, qu'es-ce qu'ils ont TOUS à me fixer avec leurs yeux d'ovins ! Ah, mais arrêtez ! C'est flippant ! Pourquoi vous courrez ? Pourquoi vous courrez tous vers moi en bêlant ! Ahh ! A MOI ! Je me fais agresser par des moutons ! Ah ! Et voilà qu'ils se mettent à sonner maintenant ! Un mouton c'est censé bêler, par sonner ! Vous êtes pas censés imiter la sonnerie de mon réveil ! Mon réveil ? tiens... euh... quelle heure est-il au fait ? 3h42... pfff... c'était juste une mauvais rêve...

Maintenant que je suis réveillé... je vais pouvoir compter les "trois puissance mouton"...

 Posted by on 4 septembre 2011