août 172007
 

La trigonométrie est souvent la hantise des lycéens. Il est vrai qu'elle est mal enseignée, mal introduite. Pourtant je connais une façon d'en parler qui devrait ravir tout le monde...Combien de fois ai-je entendu quand j'étais au lycée ou quand je donnais des cours de maths "je déteste la trigonométrie ! j'y comprends rien !". Trop de formules à apprendre ? Une mauvaise approche de cette branche des mathématiques ? Peu importent les raisons, mon but ici n'est pas de les trouver, mais de vous montrer que la trigo ça peut être marrant et extrêmement utile pour briller en société.Imaginons nous en famille. Nous sommes six. Maman a préparé un beau gâteau qu'elle s'apprête à découper en six parts égales. Intuitivement, elle sait que six c'est deux fois trois. Donc le plus simple est de le couper en deux puis de couper les deux parts formées en trois. Elle marque donc le centre du gâteau avec la pointe du couteau, et coupe le gâteau en deux par son diamètre.

Découpe du gâteau en 6 parts égales

Jusque là tout va bien. Cependant, au moment de couper chacune des deux parts en trois elle se retrouve embêtée ne sachant comment mesurer facilement le "tiers de la moitié". Et c'est là que la trigonométrie va lui permettre de briller devant toute sa famille. Voici comment...Normalement, si elle a bien fait la découpe en deux parts égales, chacune des deux parts représente un secteur angulaire de 180°. Le tiers de cet angle est donc de 60°. Donc son objectif est de réussir à couper les deux moitiés du gâteau en trois parts de 60° chacune. Subitement, elle se rappelle ses cours de trigonométrie de seconde qu'elle avait toujours crus inutiles. Elle se souvient que le cosinus de 60° est strictement égal à 1/2 : cos(60°)=1/2. Derrière cette égalité se cache quelque chose de très simple en réalité. Par définition, la fonction cosinus est la valeur algébrique de la projection orthogonale sur l'axe des abscisses d'un point du cercle unité (de rayon 1). Bon ok, c'est hyper abstrait.Transposons ça à notre gâteau en supposant que son rayon vaut 1. L'axe des abscisses ici n'est rien d'autre que la droite (AB) qui a servi à couper le gâteau en deux. L'origine de cette axe est le centre du gâteau, le point 0. Le point que l'on cherche est celui situé sur la circonférence du gâteau et formant un secteur angulaire de 60° avec le rayon du gâteau [OA]. Appelons ce point P. La projection orthogonale de P est le point P' situé à l'intersection du rayon du gâteau (le segment [OA]) et de la droite perpendiculaire à ce diamètre et passant par P (la droite (PP')). La relation "cos(60°)=1/2" signifie tout simplement que la distance OP' est égale à la moitié de la distance OA. P' est donc situé exactement à la moitié du rayon du gâteau !

cos(60°)=1/2

Cette propriété si elle est reformulée nous donne un moyen très simple de trouver un repère afin de couper une moitié de gâteau en exactement trois parts égales. En effet, avec la pointe du couteau (sans couper) Maman doit partir du centre du gâteau (le point 0), parcourir vers la droite la moitié du rayon (elle se retrouve en P'), remonter perpendiculairement au rayon jusqu'à la périphérie du gâteau (elle se retrouve en P). Le point obtenu est celui qui définit exactement un angle de 60°, soit le tiers de la moitié du gâteau.

Deux parts de gâteaux coupé en 6

A partir de ce point elle peut découper le gâteau selon un autre diamètre, en passant par le centre du gâteau, pour obtenir deux parts égales de la bonne taille. Il suffit ensuite de recommencer sur les deux morceaux restants pour obtenir six belles parts de la même taille.Et si autour de la table on était 5 ? Facile ! Il suffit de couper un premier rayon du gâteau. Ensuite il faut s'aider du cosinus de 72° (le cinquième du cercle). On a cos(72°)=0.309. Donc en prenant un peu moins du tiers du rayon du gâteau en partant du centre, on obtient le point P'. Une fois ce point obtenu, on remonte perpendiculairement au rayon pour avoir le point P. Ce dernier nous donne le bon angle de découpe pour obtenir pile poil un cinquième du gâteau. Ensuite on recommence 4 fois l'opération sur les quatre cinquième restant du gâteau.

Découpage en cinq

C'est pareil pour couper le gâteau en 7, 9, 10, 11 ou 13. Il suffit de connaitre les cosinus des angles correspondants. Dans le tableau suivant sont regroupées les valeurs des cosinus et les pourcentages approximatifs du rayon qu'ils représentent pour couper le gâteau en 5, 6, 7, 9, 10, 11 ou 13 parts.

Nb de parts Angle de la part Cosinus % du rayon
5 72° 0,309 30%
6 60° 1/2 50%
7 52° 0,616 60%
9 40° 0,766 75%
10 36° 0,809 80%
11 33° 0,839 85%
13 28° 0,882 90%

Au delà de 10, on commence à ne plus être très précis. L'erreur commise sur la première part (à moins de se balader avec une calculatrice et un rapporteur, au cas où...) s'accumule avec l'erreur sur les parts suivantes. On a généralement une surprise sur la taille de la dernière part. C'est à peu près efficace jusqu'à 9 parts. Après je conseille plutôt de diviser en 12 ou d'acheter deux gâteaux :). Pour diviser en 12, c'est très simple, il suffit de diviser une première fois en 6 en suivant la méthode expliquée ci-dessus et ensuite de recouper en deux chaque part obtenue.Avec tout ça, vous allez pouvoir briller en famille ou en société à chaque fois qu'il faudra couper un gâteau. Cependant, méfiez-vous, le public habitué aura vite fait de vous solliciter à chaque fois qu'il y aura un gâteau à couper. Alors, le mieux est de leur transmettre cette méthode pour qu'ils puissent se débrouiller par eux-mêmes.Allez, plus efficace que la théorie, place à la pratique sur un magnifique gâteau au chocolat :)


Note : toutes les images ont été réalisées et retouchées à l'aides des logiciels CaRMetal et The Gimp

 Posted by on 17 août 2007
  • Mymy

    Je confirme, ça marche très bien pour briller en société!! 😉
    Et le gateau, c'est qui qui le prépare??? ^^

    ***

  • Filou

    Et là typiquement, la première personne te dit: "euh donne moi une petite part s'il te plait", et d'autres sont ravis d'en avoir une plus grosse.
    Moi j'ai arrêté d'essayer de couper droit :p

  • http://feelfree.free.fr/blog FeeLfree

    Pas mal, ceci dit, la méthode pour découper 6 part sert à éviter de nous enquiquiner à mesurer des tiers, dès qu'on passe à 5 parts ou bien un nombre plus exotique, on y est amené à nouveau.
    Mais bon, de toutes façons, tout conseil pour se la jouer est toujours bon à prendre.
    Je testerai la prochaine fois qu'on se commandera une pizza 😀

  • luxtin

    @mymy : moi je sais pas très bien cuisiner de toute façon...

    @filou : ils peuvent toujours demander, c'est toi qui tient le couteau, et donc qui a le pouvoir de décision 😉

    @Feelfree : ta remarque est pertinente, ceci étant c'est plus facile de mesurer au pif le tiers d'un segment que le tiers d'un arc de cercle...

  • http://feelfree.free.fr/blog FeeLfree

    Il y a aussi la solution de continuer à découper à l'ancienne, et à la moindre remarque répliquer comme mon gd père disait "de toutes façons tout le monde n'a pas faim pareil". Il répliquait aussi aux enfant qui voulaient la grosse part : "tu n'auras que ce que le sort te donnera".

  • http://flo.long.free.fr luxtin

    Ah oui, et puis on se mettait sous la table pour pas voir la part choisie par un "grand", qu'il fallait ensuite attribuer à qui on voulait, un peu au hasard.

    Enfin, moi je vous donne une technique infaillible, mais rien ne vous empeche de couper un gateau à la hache 😉

  • http://leblogducon.free.fr foxspirit

    je vais de ce pas en parler à mon pizzaiole qui se casse toujours la tête pour couper ses piz en 6 et qui nous fait tous chier car à chaque fois on se retrouve lésé...
    bon ceci dit quand on fait une démo on la fait bien. Dans le second schéma (qui est censé soutenir l'explication pour les profanes- heureusement que nous n'en faisons pas partie pour pouvoir te comprendre - il manque la lettre B qui permet de repérer l'axe AB.

  • luxtin

    @foxspirit
    > je vais de ce pas en parler à mon pizzaiole qui se casse toujours la tête pour couper ses piz
    > en 6 et qui nous fait tous chier car à chaque fois on se retrouve lésé...

    Ah oui c'est pas bête ça. Je vais aller proposer une formation d'une heure à tous les pizzaiole du coin tiens :)

    > Dans le second schéma (qui est censé soutenir l'explication pour les profanes-
    > heureusement que nous n'en faisons pas partie pour pouvoir te comprendre - il manque la
    > lettre B qui permet de repérer l'axe AB.

    Ah oui exact. Je vais corriger ceci de ce pas...

  • http://julien.hillairet.free.fr/blog/ Julien

    Sympathique explication ! Ça ma rappelle un prof de math qui se plaignait de devoir toujours découper tartes et gateaux lors des repas de famille :)

    Sinon, je ne connaissais pas le logiciel C.A.R. et CARMetal. C'est visiblement super pratique et puissant pour ce genre de schéma ! (Jusqu'à maintenant j'utilisais Inskape pour faire ce genre de schéma, mais ce n'étais pas très précis.)

  • cerisepoivree

    Un grand merci j'ai pu diviser mon cercle en marches egales!!Pour un escalier en colimasson c'est tout de meme mieux!C'est dans ces moments là que je me dis "t'aurais du écouter mieux tes cours de maths!"Ca rentre juste le temps du devoir, après, ça ressort vu que, pas appliquée!!Merci trigo!!

  • jmd821

    Quelle belle et bonne explication. Un grand merci ... j'avais un problème avec une self que je devais diviser en 13 parties égales "Nid d'abeille" pour un exposé sur le Poste à Galène ... Merci mille fois 😮

  • gh

    lol JM... pas mal d'avoir abouti ici... 😉

  • http://goutte-de-science.net Florian

    Merci à vous tous pour vos commentaires qui me font très plaisir, autant que j'en ai pris à rédiger cet article 😉

  • Pingback: Faire de la trigo autour d’un gâteau – Los viernes cocina Marta | cocinaymatematicas()

  • Jean-Claude

    Amusant de tomber sur cet article...
    Quand j'enseignais les maths en lycée, je démarrais toujours la trigo en expliquant à mes élèves qu'ils auraient une excellente méthode pour couper les tartes en 6 parts égales s'ils suivaient bien!
    C'était dans les années 1975 et ça se terminait systématiquement par la question des élèves : "et dans la pratique, vous savez faire" ?
    Bien sûr je répondais oui et au cours suivant, il y avait des tartes à découper sur le bureau.
    Mais c'était une autre époque. La coutume a duré quelques années et s'est perdue. Dommage!

    • Florian

      Merci pour votre agréable commentaire. J'utilise beaucoup cette application pour introduire la trigo auprès de mes élèves. Généralement, cela fait office de réconciliation avec cette matière trop souvent honnie.

  • albert gautier

    j'ai un message a faire passer, j'ai découvert la théorie initial tant convoité par la sciences alors merci de faire passer le message (urgent découverte théorie initiale contacter moi au 07.61.23.87.02