Récemment, @bouletcorp (je vous recommande en passsant la lecture de son blog : bouletcorp.com), s'est extasié, à juste titre, à la vue de cette image :

C'est beau non ? Alors, c'est quoi le truc ? Explications...

Dissection d'un étage de la pyramide

Commençons par torturer une des équations de la pyramide pour comprendre un peu ce qu'il se passe (accroche-toi Mémé). Considérons le premier membre de la troisième :

$123\times 8+3$

Etape 1. Ecrivons que 8=10-2 et développons:

$123\times 8 +3 = 123\times 10-123\times 2+3$

Etape 2. On décompose le terme 2 * 123 en la somme 123+123 :

$123\times 8 +3 = 123\times 10-123+3-123$

Etape 3. On décompose ensuite le premier 123 en 123=10*12+3

$123\times 8 +3=123\times 10-12\times 10-3+3-123$

Etape 4. En mettant 10 en facteur sur 1230 et 120, on obtient

$123\times 8 +3=(123-12)\times 10-3+3-123$

Etape 5. En remarquant que 123-12=111, on trouve :

$123\times 8 +3=111\times 10-123$

Etape 6. Or, 111*10-123=1110-123=987. D'où finalement

$123\times 8 +3=987$

Et ça marche tout pareil avec les autres équations de la pyramide. Un autre exemple pour n=5 :

1. $12345\times 8+5=12345\times 10-12345\times 2+5$

2. $12345\times 8+5=12345\times 10-12345+5-12345$

3. $12345\times 8+5=12345\times 10-1234\times 10-5+5-12345$

4. $12345\times 8+5=(12345-1234)\times 10-12345$

5. $12345\times 8+5=1111\times 10 - 1234$

6. $12345\times 8+5=98765$

Lors de chaque étape de calcul, on utilise une propriété élémentaire sur les nombres. Celles utilisées dans les étapes 1, 2 et 4 sont élémentaires. En revanche, les deux dernières le sont moins. L'objectif de ce qui suit est de d'établir une relation générale pour des nombres 12...n et 98...m quelconques, avec n et m compris entre 1 et 9.

Si vous avez décroché à ce moment là de la lecture et que vous souhaitez poursuivre, allez prendre un stimulant, ce qui suit se corse un peu. Prenez de l'eau aussi, ça va devenir aride. Normal, on étudie des pyramides, dans le désert.

Quelques éléments de numération en base 10

Avant de rentrer dans le vif des explications, il faut que je vous parle de numération. La numération c'est quoi ? C'est très simple. "Un système de numération est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer des nombres. Sous leur forme écrite, ces derniers sont nés, en même temps que l'écriture, de la nécessité d'organiser les récoltes, le commerce et la datation (source Wikipédia)."

En gros, ça sert à représenter et manipuler les nombres. Des systèmes de numération, il en existe plusieurs, le plus largement répandu sur Terre (ailleurs, je peux pas dire) est le système décimal. Pourquoi le système décimal ? Parce qu'il présente beaucoup d'avantages, entre autres :

• Décimal  = 10 = nombre de doigts d'un humain normalement constitué.
• Les nombres s'écrivent et se manipulent bien dans cette base.
• Les opérations sur les nombres (addition/soustraction, multiplication/division) sont relativement simple à effectuer. J'en veux pour preuve qu'on les apprend à l'école primaire.

C'est ainsi que derrière des nombres qu'on a l'habitude de manipuler tous les jours se cache un système de numération mathématique en base 10. Concrètement, ça signifie que chaque nombre est décomposé sur un ensemble de nombre, qu'on appelle une base. Dans le cas du système décimal, la base est constituée des puissances de 10 (1, 10, 100, 1000, 10000, ...) : les unités, les dizaines, les centaines, les milliers, etc.

Représenter un nombre en base décimale, c'est donc le décomposer en nombre d'unités, de dizaines, de centaintes, de milliers, etc.

Un exemple pour fixer les idées. Considérons le nombre 1234. Derrière sa représentation se cache la décomposition suivante :

1234 = 1000 + 200 + 30 + 4 = 1 * 1000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 4 *1

1234 = 1 * 10³ + 2 * 10² + 3 * 10¹ + 4 * 10⁰.

• Le premier chiffre de 1234, le 1, est le facteur de la puissance 3 de 10 dans la décomposition en base 10 : le chiffre des milliers.
• Le second chiffre de 1234, le 2, est le facteur de la puissance 2 de 10 dans la décomposition en base 10 : le chiffre des centaines.
• Le troisième chiffre de 1234, le 3, est le facteur de la puissance 1 de 10 dans la décomposition en base 10 : le chiffre des dizaines.
• Le quatrième chiffre de 1234, le 4, est le facteur de la puissance 0 de 10 dans la décomposition en base 10 : le chiffre des unités.

D'une manière générale, tout nombre à n chiffres s'écrit en base 10 sous la forme :

$a_{n-1}\times 10^{n-1}+a_{n-2}\times 10^{n-2}+...+a_1\times 10+a_0=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_k\times 10^{n-k}$

Le nombre en question sera constitué des coefficient $a_{k}$, pour $k$ variant de 0 à n-1 et sera noté formellement $\overline{a_{n-1}...a_0}$.

Exemple, pour $n=4$, les coefficients du nombre 1234 en base 10 sont : $a_3=1,\;a_2=2,\;a_1=3,\;a_0=4.$

Application à la pyramide magique en question

Revenons à notre pyramide de chiffre.

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 9876
123456 x 8 + 6 = 98765
1234567 x 8 + 7 = 987654
12345678 x 8 + 8 = 9876543
123456789 x 8 + 9 = 987654321

En utilisant la numération en base 10, on va généraliser la démarche effectuée dans les deux cas particuliers ci-dessus pour des chiffres  12...n et 98...m quelconques, avec n et m compris entre 1 et 9.

Pour formaliser tout ça, quelques notations s'imposent (c'est à ce moment que Mamie décroche...).

• Le nombre constitué des n chiffres dans l'ordre croissant de 1 à n sera noté $c_n=\overline{12...n}$
• le nombre constitué des m chiffres décroissants de 9 à m sera noté $d_m=\overline{98...m}$
• le nombre de n chiffres constitué de n un consécutif sera noté $e_n=\overline{1...1}$.

Propriété 1. $c_n=10\times c_{n-1}+n.$

Preuve : en utilisant la relation (1), on a :

$c_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k10^{n-k}$

$c_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k10^{n-k}+n$

$c_n=10\times\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k10^{n-1-k}+n$

$c_n=10\times c_{n-1}+n.$ ELTEJ¹.

Exemple, pour n = 4 : $c_4=1234$, $c_3=123$, et on a bien 1234=10*123+4.

Propriété 2. $c_n-c_{n-1}=e_n$

Preuve : en partant de la relaton (1), en $n$ et en $n-1$, on a :

$c_n-c_{n-1}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k10^{n-k}-\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k10^{n-1-k}$

Dans la première somme on extrait le premier terme pour $k=1$ et dans la seconde somme on fait le changement de variable $k\rightarrow k+1$. On obtient

$c_n-c_{n-1}=10^{n-1}+\displaystyle \sum_{k=2}^{n} k10^{n-k}-\displaystyle \sum_{k=2}^{n} (k-1)10^{n-k}$

On regroupe les deux sommes sous la même sommation :

$c_n-c_{n-1}=10^{n-1}+\displaystyle \sum_{k=2}^{n} (k-k+1)10^{n-k}$

$c_n-c_{n-1}=10^{n-1}+\displaystyle \sum_{k=2}^{n}10^{n-k}$

$c_n-c_{n-1}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}10^{n-k}$

Et donc, d'après la relation (2), on a bien :

$c_n-c_{n-1}=e_n$. ELTEJ.

Exemple, pour n = 4 : $c_4=1234$, $c_3=123$, $e_3=111$, et on a bien 1234-123=111.

Propriété 3. $10e_n-c_n=d_{10-n}$

Preuve : d'après la relation (3), on a :

$d_{10-n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (10-k)10^{n-k}$

$d_{10-n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 10\times 10^{n-k}-\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k\times 10^{n-k}$

$d_{10-n}=10\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 10\times 10^{n-k}-c_n$

On effectue le changement d'indice de sommation $k\rightarrow n-k$. On obtient :

$d_{10-n}=10\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 10\times 10^{k}-c_n$

Et d'après la relation (3) :

$d_{10-n}=10e_n-c_n.$ ELTEJ.

Exemple, pour n = 4 : $d_{10-4}=d_6=9876$, $e_4=1111$, $c_4=1234$, et on a bien 10*1111-1234=11110-1234=9876.

On a tout ce qu'il faut maintenant pour généraliser ce qu'on a fait au début de l'article. Dans un souci pédagogique, je presente côte à côte la démarche dans le cas particulier n=3, et la même démarche dans le cas général, en suivant les mêmes étapes :

Et voilà, le mystère de la pyramide magique en base 10 est résolu.

Pour les plus motivés de mes lecteurs : saurez-vous trouver un équivalent en base 2 ou en base 8 ?

Voici l'énoncé :

Deux trains roulent l'un vers l'autre sur deux rails parallèles, à la même vitesse. Un bourdon (ou une mouche, ou toute bestiole volante capable de rouler plus vite que des trains...) s'amuse à faire l'aller-retour entre les deux trains. Au début de l'expérience, les trains sont séparés d'une distance donnée. Le but est de calculer la distance parcourue par le bourdon jusqu'à ce les trains se croisent.

Ce qui est étonnant avec ce problème c'est que :
1. un non mathématicien va trouver un raisonnement très simple pour résoudre le problème en trois lignes ;
2. un mathématicien pense tout de suite à un sombre calcul de limite de série...

Et comme, je suis un peu mathématicien sur les bords, je vous propose la résolution compliquée avec une dose de bonne humeur et adaptée avec l'actualité du moment.

Sommaire

Définition du problème | Notations | Analyse du problème | Calcul des instants de rencontres | Calcul de la distance parcourue | Retour au problème initial | Application numérique | Conclusion | Pour aller plus loin

Définition du problème

L'un des trains sera remplacé par le super-héro "Kid Flash" qui a la formidable aptitude de se déplacer à des vitesses proches de la célérité de la lumière. On supposera donc que Kid Flash se déplace à la vitesse $c$ constante, sur une trajectoire rectiligne, d'un point O vers un point A situé à une distance $D$, à l'autre bout de l'Univers (cf schéma ci-après).

Le bourdon sera substitué par un autre super-héro "Jimmy Neutron" à qui je prêterai, à titre exceptionnel dans le contexte de cet article, puisse-t-il me pardonner, la capacité de se déplacer à la vitesse d'un neutrino, supérieure à celle de la lumière si l'on en croit les actualités récentes du CERN. On supposera que Jimmy se déplace à la vitesse $c'$ sur la même ligne reliant le point O au point A.

Kid Flash et Jimmy Neutron partent ensemble du point O.

Ainsi, pendant que le valeureux Kid Flash fait sa promenade à travers l'Univers, l'impétueux Jimmy Neutron effectue des aller-retours entre son collègue et le point A.

L'objectif est de calculer la distance totale parcourue par Jimmy Neutron jusqu'à ce que Kid Flash atteigne son point d'arrivée.

Le problème obtenu est équivalent au problème original avec deux trains et un bourdon, mais les calculs sont plus simples.

Remarque : je sens venir les physiciens relativistes. OUI, je suppose que la mécanique Newtonienne reste valable pour des valeurs de $c$ et $c'$ proches de la célérité de la lumière, et OUI, c'est de la science-fiction.

Passons maintenant aux choses sérieuses...

Notations

La droite (OA) est orientée positivement du point O vers le point A.
Soient ensuite,

•  $x(t)$ : la position de Kid Flash à un instant t. Kiddy se déplaçant à la vitesse $c$ de O vers A, on a immédiatement $x(t)=c\times t$.
• $t_n$ : le temps correspondant à la $n$-ième rencontre des deux super-héros, et on pose $t_0=0$ et $x_n=x(t_n)$.
• $d(t)=D-x(t)$, la distance restant à parcourir par Kid Flash à un instant $t$ pour atteindre A. On pose $d_n=D-x_n$, la distance séparant les deux protagonistes de A au $n$-ième point de rencontre. On a donc $d_n=D-ct_n$ (1).
• $D_n$ : la distance totale parcourue par Jimmy au $n$-ième point de rencontre.
• $D'$ : la distance parcourue par Jimmy Neutron quand Kid Flash atteint son point d'arrivée.

Analyse du problème

Pendant que Jimmy va de O vers A puis revient chatouiller les narines de Kid Flash, ce dernier avance et continue son chemin. A chaque rencontre, Kid Flash se rapproche de son point d'arrivée alors que Jimmy effectue des allers-retours de plus en plus court. La distance parcourue par Jimmy Neutron à la $n$-ième rencontre est donc la somme des longueurs des allers-retours qu'il a effectué.

Détaillons un peu. Au premier point de rencontre, Mr Neutron a parcouru la distance $D$ pour aller en A, puis il revient vers Kid Flash et l'atteint après avoir parcouru la distance $D-x_1$, donc la distance totale parcourue par Jimmy au moment du premier point de recontre est :

$D_1=D+(D-x_1)=D+d_1.$

Au second point de rencontre, Jimmy parcourt la distance $D-x_1$ pour aller en A, puis il revient vers Kid Flash et l'atteint après avoir parcouru la distance $D-x_2$, donc

$D_2=D_1+(D-x_1)+(D-x_2)=D+2d_1+d_2.$

En généralisant au rang $n$¹, on obtient :

$D_n=D+2\displaystyle\sum \limits_{k=1}^{n-1} d_k+d_n,$

ce qu'on réécrit pour simplifier sous la forme

$D_n=2\displaystyle\sum \limits_{k=0}^{n} d_k-(d_0+d_n)$ (2).

La distance $D'$ à calculer est donc la limite quand $n$ tend vers l'infini de la somme des distances parcourue par Jimmy Neutron :

$D'=\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}D_n.$

Or, $d_n=D-ct_n$. Il ne nous reste plus qu'à calculer les expressions des instants de rencontres $t_n.$ C'est là que ça se corse un poil.

Calcul des instants de rencontres

Entre deux rencontres consécutives, c'est à dire entre les instants $t_n$ et $t_{n+1}$, Kid Flash parcourt la distance $x_{n+1}-x_n$, et Jimmy Neutron parcourt la distance $d_n+d_{n+1}$. Le temps s'écoulant à la même vitesse pour tout le monde², on a donc :

$\displaystyle\frac{x_{n+1}-x_n}{c}=\frac{d_n+d_{n+1}}{c'}.$

Grâce à la relation (1) (cf section notations), on obtient après quelques lignes de calcul³ :

$t_{n+1}=\displaystyle\frac{c'-c}{c'+c}t_n+\frac{2D}{c'+c}.$

Posons nous un moment sur cette relation. C'est une relation de récurrence affine, ni géométrique, ni arithmétique. C'est en fait une relation de récurrence arithmético-géométrique du type

$t_{n+1}=\alpha t_n+\beta$, avec $\alpha=\displaystyle\frac{c'-c}{c'+c}$ et $\beta=\displaystyle\frac{2D}{c'+c}.$

Ce type de relation se rencontre fréquemment dans la modélisation des flux (d'argent ou de population)⁴.

Pour obtenir le terme général d'une suite de ce type, on pose $u_n=t_n+\gamma$ avec $\gamma=\displaystyle\frac{\beta}{\alpha-1},$ et on démontre⁵ que $u_n$ est une suite géométrique de raison $\alpha$ et de premier terme $u_0=t_0+\gamma=\gamma$. On obtient donc le terme général $u_n=\gamma\alpha^n$, et en inversant la relation on trouve :

$t_n=\gamma(1-\alpha^n)$ (3)

avec, dans notre cas, $\gamma=\displaystyle\frac{D}{c}.$

Maintenant qu'on a trouvé l'expression de nos temps de rencontres, il ne nous reste plus qu'à injecter tout ça dans la relation (2) pour conclure.

Calcul de la distance parcourue

Revenons un peu en arrière.

On a $d_n=D-ct_n$, d'où, en injectant l'expression obtenue précédemment pour $t_n$,

$d_n=D\alpha^n \quad$ (4).

Dans la relation (2), on a le terme $\displaystyle\sum \limits_{k=0}^{n} d_k$. C'est la somme des $(n+1)$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $\alpha$ et de premier terme $d_0$. Elle vaut donc

$\displaystyle\sum \limits_{k=0}^{n} d_k=d_0\displaystyle\frac{1-\alpha^{n+1}}{1-\alpha} \quad (5).$

En injectant les relations (4) et (5) dans (2), on obtient, après quelques lignes de calcul⁶ :

$D_n=\displaystyle\frac{c'}{c}D(1-\alpha^n)$ (6).

Comme $\alpha<1$, $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\alpha^n=0$, et par conséquent :

$D'=\displaystyle\frac{c'}{c}D.$

Retour au problème initial

Afin de valider les résultats obtenus, je vous propose la solution simple. Le processus prend fin lorsque Kid Flash atteint le point A. Comme il voyage à la vitesse $c$, il met le temps $T=D/c$, pour parcourir cette distance.

Première remarque : on retrouve bien que $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}t_n=\gamma=\frac{D}{c}=T.$

Pendant ce temps $T$, Jimmy Neutron aura donc parcouru à la vitesse $c'$, la distance $c'\times T$, ce qui donne bien le résultat annoncé : $D'=\displaystyle\frac{c'}{c}D.$

Application numérique

Avec

• $D=$ 1 année lumière soit environ 9500 milliard de km ;
• $c=$ célérité de la lumière, soit environ 300 000 km/s ;
• $c'=$ 300.006 km/s.

La question est en anglais. Je traduis (au mieux¹) :

Si vous choisissez une réponse au hasard à cette question, quelle est la probabilité que vous ayez choisi celle qui est correcte ?
A) 25 %
B) 50 %
C) 60%
D) 25 %

Bon, premièrement, on reste perplexe quelques secondes, voire quelques minutes. Puis on crie au scandale parce qu'on n'y comprend rien ! Outre l'humour mathématique de degré probablement supérieur à deux² que ce paradoxe recèle, on est face à un dilemne difficile à résoudre.

On peut glaner sur internet quelques propositions du genre "on a 1 chance sur 2 d'avoir 1 chance sur 4", ou alors "on choisit la bonne réponse en prenant la réponse A) et D)". Rien de vraiment satisfaisant.

Après avoir fait quelques recherches, j'ai trouvé des éléments de réponses ici (en anglais). Cette gentille question semble similaire au paradoxe de Russell ou au paradoxe du menteur. En bref, une ambiguïté naît de la confusion entre le langage et le métalangage (celui qui parle du langage dans lequel il parle au moment où il parle), mais je suis bien en peine de pouvoir l'expliquer à mes adorables lecteurs avec mes petits neurones.

Si un expert logicien passe par ici pour nous éclairer...

Les épreuves font appel aux notions de terminale S, mais les sujets sont plus difficiles et demandent une maîtrise parfaite du programme. L'objectif est donc d'amener de très bons élèves à un niveau d'excellence.

Pour en savoir plus, voir cet article sur mon site professionnel : prof de maths pour IPRASUP.

Notez qu'il s'agit d'un exercice de niveau terminale S, donc on ne peut utiliser que les notions vues à ce niveau du programme.

Voici l'énoncé :

Dix personnes sont autour d'une table. Dix jetons portant les numéros de 1 à 10 sont distribués au hasard à ces 10 personnes. Chaque joueur gagne une somme égale (en €) au total des nombres inscrits sur son jeton ainsi que sur ceux de ses voisins de gauche et de droite.

Ainsi peut-on affirmer : "Au moins une des dix personnes aura un gain au moins égal à $M$€".

Quel est le plus grand nombre que l'on peut mettre à la place de $M$ ?

A vos neuronnes !

N.B. : l'énoncé est un peu alambiqué. Il s'agit de trouver le plus petit gain maximal qu'on est certain d'obtenir quelle que soit la configuration. Il faut donc trouver le min du max...

Les capsules de café

Flow Soonlasting, professeur de mathématique, décide de se rendre en salle des professeurs pour y boire un café. Malheureusement, alors qu'il s'approche du distributeur automatique, il aperçoit la porte du distributeur automatique grande ouverte et l'employé chargé de l'approvisionnement de fort mauvaise humeur.
" Monsieur, un problème avec le distributeur ? ", demande-t-il ?

L'employé désigne un charriot où s'entassent quelques paquets de café en capsules, tous identiques et ouverts.

" Notre fournisseur m'a signalé par mail qu'il s'était trompé d'emballage pour l'un de ces paquets ! " grogne-t-il. " J'avais commandé cinq paquets de la marque Cabane du café, les seuls qu'acceptent le distributeur ; et ils m'ont envoyé un paquet de Neswatelse. Comme le conditionnement est le même, impossible de savoir quel est l'intrus. Je vais être obligé de tout renvoyer. Donc pas de café aujourd'hui, désolé. "

Une lueur d'alarme s'allume aussitôt dans le regarde de M. Soonlasting.

" Il n'y a aucun moyen de différencier les capsules de Cabane du café de celles de Neswatelse ?
- Aucune, regardez par vous-même ! "

Effectivement, les cinq paquets semblent contenir exactement les mêmes capsules noires.

" Pourtant, reprend M. Soonlasting, il doit bien y avoir une différence si le distributeur sait reconnaître les capsules qui lui conviennent.
- En fait, les capsules de Maxou LL pèsent exactement 11 g, et celles de Cafésup 10 g. Mais je suis bien incapable de sentir une différence aussi petite en soupesant les capsules !
- Ne bougez pas ! " s'exclame alors M. Soonlasting, avant de quitter la salle des professeurs au pas de course.

Il revient quelques instants plus tard avec une balance de précision empruntée au laboratoire de chimie.

" Ah ! Quelle rapidité ! s'exclame l'employé. Je vais peser une capsule de chaque paquet pour éliminer l'intrus et vous allez pouvoir déguster votre café.
- En fait, souffle M. Soonlasting, je pense même qu'on peut se contenter d'une seule pesée. "

Comment Flow Soonlasting compte-t-il procéder ?

A vos neurones !

D'une manière plus générale je tiens à saluer et féliciter toutes les initiatives (réussies ou non dans des degrés divers) qui naissent ici et là pour tenter de transmettre les savoirs scientifiques de manière intéressante, ludique ou tout simplement décalée.

J'en ai sélectionné 7. Pourquoi 7 ?
- raison #1 : parce que je ne pouvais me résoudre à en sélectionner que 5.
- raison #2 : parce que 7 est un nombre premier.
- raison #3 : parce que le "Grand Architecte" a créé l'Univers en 7 jours et il vit que c'était beau.
- raison #4 : parce que.

Cette sélection, classée dans un ordre totalement aléatoire, ne constitue en rien un jugement de valeur et n'est que le simple reflet de mes goûts personnels.

C'est parti pour le tour d'horizon...

Mes 7 blogs de sciences préférés

Globule et téléscope : le blog science et environnement de slate.fr. Partez avec Pierre Barthélémy et sa lunette astronomique à la découverte du monde. Pas mal d'humour et d'auto-dérision sur des sujets tous très intéressants. L'auteur est une pointure : journaliste depuis 1990, il fait l'essentiel de sa carrière au "Monde" où il a dirigé le service Sciences et Environnement avant de créer les pages Planète en 2008. Il a aussi été rédacteur en chef du mensuel "Science & Vie".

Science étonnante : de la science étonnante, amusante ou tout simplement intéressante. L'auteur, David Louapre, est chercheur en physique et nous fait (re)découvrir avec une grande rigueur et une dose d'humour les plus grands classiques de la vulgarisation scientifique¹, que ce soit en physique (son domaine de prédilection), en maths, en chimie, en biologie ou encore en sciences humaines et sociales. En bref, un bon chercheur-vulgarisateur touche à tout, à lire et à relire.

Pourquoi comment combien ? Philippe Guglielmetti, alias Dr Goulu, docteur es sciences, se décrit comme un "curieux congénital", boulimique de connaissance et muni d'une bonne dose d'autodérision.

Inclassables mathématiques. Olivier Legay, professeur de maths et "expert géogébra" nous livre ses expérimentations pédagogiques en classe (apprentissage dynamique, utilisation de logos, ...) et ses astuces d'enseignants.

Choux romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes. Rien que le nom du site et le ton est donné. Derrière une bonne dose d'humour et d'auto-dérision, se cache ElJj², qui vous emportera dans des voyages mathématiques toujours passionnants. Les sujets sont parfaitement maîtrisés et on se marre... que demander de plus !?

Le blog note mathématique du coyotte. Didier Müller, professeur de mathématique, nous fait partager sa passion à travers des énigmes, des curiosités mathématiques, des petites BDs mettant en scène une vache qui parle et plein d'autre choses à découvrir.

Bricomaths. Olivier Longuet, professeur de maths, avec qui je partage les 7 premières lettres de mon patronyme³, nous expose ses expérimentations, ses "bricolages", pour "sentir et toucher les maths avec les mains". C'est souvent très intéressant, astucieux, et donne de nombreuses idées quand on est soi-même un peu professeur de maths.

Flow Soonlasting, professeur de maths à l'Université Gaullienne des Sciences en la ville fleurie de Lutèce, capitale de l'Union Républicaine des Socialistes Réunis (URSR) est soucieux. Il a du mal à s'endormir. Alors que ses pensées tournent en rond, il décide de détourner son attention en comptant les moutons.

Sauf que, pour un mathématicien de son niveau, ça devient vite très ennuyeux... alors il se met à compter les "deux puissance moutons"... voici ce qu'il s'est passé dans sa tête par la suite.

Un mouton, deux moutons, trois moutons, ..., 100 moutons, ... [une heure plus tard], 112 457 moutons, ... bon ! Nan vraiment, compter les moutons c'est chiant. Je vais compter les puissances de deux moutons :

2^{pas de moutons} = 1 mouton,
2^{1 mouton} = 2 moutons,
2^{2 moutons} = 4 moutons,
2^{3 moutons} = 8 moutons...

Tiens en fait, compter les "deux puissance moutons" ça revient à considérer qu'à chaque saut de barrière, on double le nombre de moutons. Formalisons ça un peu. Pour obtenir le nombre de moutons qui sautent la barrière la nième fois, je multiplie par deux le nombre de moutons ayant sauté à l'étape précédente. Cela me donne la succession dans l'ordre des puissances de deux :

Tiens, je pourrais construire une suite pour calculer le nombre de moutons sautant la barrière à l'étape $n$. Je vais l'appeler $(u)$. Avec cette notation, j'ai une relation de récurrence entre le saut de barrière de rang $n+1$ et celui de rang précédent $n$ :

$u_{n+1}=2\times u_n.$

nième terme de la suite = premier terme de la suite x (la raison)^(indice du terme de la suite-1),

ce que je peux traduire mathématiquement par :

$u_n=u_1\times q^{n-1},$

$u_n=1 \times 2^{n-1} = 2^{n-1}.$

Et voilà ! le nième groupe de mouton qui va sauter la barrière est constitué de $2^{n-1}$ moutons.

Ah oui, un autre truc marrant à compter : le nombre de moutons qui auront sauté la barrière au nième saut. Mhhh réfléchissons un peu... ça doit faire un truc du genre $1+2+4+8+...+2^{n-1}$.

C'est tout simplement la somme des termes de la suite $u_n$ de 1 à $n$ : $u_1+u_2+u_3+u_4+...+u_n$. Ah ben ça tombe bien, pour les suites géométriques, j'ai une formule tout faite pour ça. Appelons cette somme $S_n$. Alors,

$S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+...+u_n=u_1\times\frac{1-q^{n-1}}{1-q},$

où $u_1$, c'est toujours le premier terme, donc 1, et $q$ toujours la raison, donc 2. Faut que je fasse gaffe, car $S_n$ contient $n$ termes et désigne le nombre de moutons qui sont de l'autre côté de la barrière après le nième saut. Donc ça me donne, en appliquant la formule et après un peu de calcul mental élémentaire [second baillement...] :

$S_n = 2^n -1.$

Le troupeau de l'autre côté de la barrière après le nième saut est constitué de $2^n-1$ moutons.

Donc, par exemple, au 3ème saut de barrière, j'ai $u_3=2^{3-1}=4$ moutons qui vont sauter et qui vont rejoindre les $S_2=2^2-1=3$ moutons qui ont déjà sauté, ce qui fera $S_3=S_2+u_3=2^3-1=7$ moutons en tout [troisième baillement...].

Si je fait la même chose pour le 10ème saut, ça va me faire un joli groupe de $u_{10}=512$ moutons, qui vont rejoindre les $S_9=511$ moutons qui ont déjà sauté, et après le saut ça me fera un beau troupeau de [quatrième baillement...] $S_{10}=1023$ moutons !

Au bout de 10 sauts, ça en fait des moutons...

Tiens... mais qu'est-ce qu'il a ce mouton à me regarder bizarrement comme ça. Mais... mais, qu'es-ce qu'ils ont TOUS à me fixer avec leurs yeux d'ovins ! Ah, mais arrêtez ! C'est flippant ! Pourquoi vous courrez ? Pourquoi vous courrez tous vers moi en bêlant ! Ahh ! A MOI ! Je me fais agresser par des moutons ! Ah ! Et voilà qu'ils se mettent à sonner maintenant ! Un mouton c'est censé bêler, par sonner ! Vous êtes pas censés imiter la sonnerie de mon réveil ! Mon réveil ? tiens... euh... quelle heure est-il au fait ? 3h42... pfff... c'était juste une mauvais rêve...

Maintenant que je suis réveillé... je vais pouvoir compter les "trois puissance mouton"...

Depuis 2001, je donne de cours particuliers à domicile en mathématiques et en physique. Si vous voulez en savoir plus j'ai créé un site web pour exposer mes prestations.

C'est par ici : www.cours-maths-bordeaux.fr.

Planète Gaïa, dans la République de Gaulle, année 2011 du Nouveau Calendrier Stellaire, l'Union Républicaine des Socialistes Réunis (URSR) a gagné les dernières élections planétaires et a imposé sa nouvelle politique du temps de travail. Désormais les salariés de toutes les nations devront prendre 3 jours de repos à la fin de chaque semaine : le vendredi, le samedi et le dimanche. Dans ce contexte social épanoui, la société du loisir fleurit et les jeux de logiques vont bon train...¹

Flow Soonlasting est professeur de mathématiques à l'Université Gaullienne des Sciences en la ville fleurie de Lutèce, capitale de la République. Bénéficiant du temps de loisirs dégagé par la nouvelle politique du temps de travail de l'URSR, il exerce ses neurones sur des jeux de logiques. Il a bien profité de son mois de juillet de 5 week-ends de trois jours, lui donnant ainsi 15 jours de repos, soit près de la moitié du mois. Flow se pose maintenant la question suivante : mais quand cela se reproduira-t-il ?²

Après y avoir réfléchi pendant quelques jours, Flow, a décidé de présenter ses réflexions à sa classe...

Mois de juillet 2011

Définitions, notations et conventions

Avant de commencer, quelques définitions, notations et conventions :

1. on dira qu'un mois est "complet en week-end" ou plus simplement "complet" lorsqu'on y trouve 15 jours de week-end ;
2. les jours de la semaine seront abrégés en lun, mar, mer, jeu, ven, sam et dim respectivement pour lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi et dimanche.
3. On ajoutera allègrement les jours entre eux en se basant sur leur ordre dans la semaine (lundi $\equiv$ 1, mardi $\equiv$ 2, etc... )³. Par exemple l'opération "lundi + 3 jours" donne jeudi, "dimanche + 2 jours" donnera mardi.⁴

A la recherche d'une caractérisation...

Ceci étant posé, on va chercher à caractériser ces mois complets. En examinant ce qui s'est passé en ce mois de juillet 2011, on peut d'emblée poser plusieurs constats :

Pour cela, on commence par construire un calendrier annuel en ne considérant que le premier, le 28ème et le dernier jour du mois. Supposons que le 1er janvier d'une année quelconque soit un lundi. Son 28ème jour est alors un dimanche. En effet, à partir du premier jour du mois jusqu'au 28ème, il y a exactement 4 semaines, donc le 28ème correspond au dernier jour de la 4ème semaine du mois, c'est à dire un dimanche, puisque la première semaine commençait par un lundi. Ensuite, pour avoir le jour de fin de mois, on rajoute trois jours au dimanche (pour un mois de 31 jours), ce qui nous amène au mercredi.

En procédant de cette manière pour chaque mois, on construit les calendriers simplifiés suivants :

Calendrier simplifié pour les années non bissextiles

Calendrier simplifié pour les années bissextiles

Illustration de la congruence sur un mois de 31 jours

La congruence

Ce procédé de construction nous permet d'illustrer la notion de congruence. Alors, la congruence, quoi c'est ? C'est très simple. Chaque mois compte toujours 4 semaines complètes, plus quelques jours. Si on fait la division du nombre de jours par mois par le nombre de  semaine (quatre), ça ne tombe jamais rond. Par exemple pour le mois de janvier, on obtient $31 / 7 = 7,75$. Formulé autrement : dans chaque mois, il y a toujours 4 fois 7 jours auquel il faut ajouter le nombre de jours restants pour finir le mois.

Mathématiquement cela s'écrit sous la forme de ce que l'on nomme une division entière :

Dans cette formule, 31 est appelé le dividende, 4 le diviseur, 7 est le quotient et 3 le reste (voir figure ci-contre). On dit que 31 est congru à 3 modulo 4, c'est à dire que quand on fait la division d'un mois de 31 jours en 4 semaines, il reste 3 jours, et on peut aussi l'écrire mathématiquement sous la forme suivante :

$31 \equiv 3 [4].$

De la même manière, pour un mois de 30 jours, $30 = 7\times 4 +2$ et on dit que 30 est congru à 2 modulo 4. Pour un mois de février de 28 jours, il y a exactement 4 semaines, on dit que 28 est divisible par 4, le reste dans la division entière est de 0.

Revenons à notre calendrier dont le premier jour de l'année est un lundi. Plusieurs constats intéressants :

Par exemple, si je suppose que l'année commence par un mardi, alors tous les jours suivants seront décalés d'un jour, il suffit donc d'avancer d'un cran tous les premiers jours de chaque mois, et tous les jours suivants. Le mois de février d'une année non bissextile commencera donc par un vendredi, le mois de mars par un vendredi, le mois d'avril par un dimanche, etc.

Suivant ce raisonnement, on peut chercher pour chaque jour de la semaine la présence d'un vendredi pour le premier jour d'un mois de 31 jours. On obtient les tables suivantes :

Occurence des mois complets en fonction du premier jour de l'année - Année non bissextile

Occurence des mois complets en fonction du premier jour de l'année - Année bissextile

1. ce contexte relève bien évidemment de la science-fiction, et toute ressemblance avec des faits passés, présents ou à venir, ou des opinions personnelles serait bien évidemment le pur fruit du hasard...
2. Récemment, Guy Marion, du blog ABC Maths a publié une énigme qui m'a fait chauffé les neurones. Son "énigme de juillet 2011" part de ce constat : en considérant que le vendredi est un jour de week-end, on constate que le mois de juillet 2012 compte 15 jours de week-end. Cet évènement assez remarquable ne se produit que rarement. Question de Guy Marion : en quelle année cela se reproduira-t-il en juillet ?
3. plus rigoureusement, on peut définir un isomorphisme entre l'ensemble E constitué des jours de la semaine avec l'ensemble Z/7Z.
4. et c'est là que la congruence pointe le bout de son nez.