oct 292011
 

Récemment je suis tombé sur cette image via festimaths :

La question est en anglais. Je traduis (au mieux1) :

Si vous choisissez une réponse au hasard à cette question, quelle est la probabilité que vous ayez choisi celle qui est correcte ?
A) 25 %
B) 50 %
C) 60%
D) 25 %

Bon, premièrement, on reste perplexe quelques secondes, voire quelques minutes. Puis on crie au scandale parce qu'on n'y comprend rien ! Outre l'humour mathématique de degré probablement supérieur à deux2 que ce paradoxe recèle, on est face à un dilemne difficile à résoudre.

On peut glaner sur internet quelques propositions du genre "on a 1 chance sur 2 d'avoir 1 chance sur 4", ou alors "on choisit la bonne réponse en prenant la réponse A) et D)". Rien de vraiment satisfaisant.

Après avoir fait quelques recherches, j'ai trouvé des éléments de réponses ici (en anglais). Cette gentille question semble similaire au paradoxe de Russell ou au paradoxe du menteur. En bref, une ambiguïté naît de la confusion entre le langage et le métalangage (celui qui parle du langage dans lequel il parle au moment où il parle), mais je suis bien en peine de pouvoir l'expliquer à mes adorables lecteurs avec mes petits neurones.

Si un expert logicien passe par ici pour nous éclairer...

  1. je suis ouvert à toute traduction meilleure que celle-là
  2. voir à ce propos cet excellent papier "Pourquoi est-il si difficile de calculer le degré d'une blague mathématique", Dimitri Karpov, Minos Libbouet, Roland Triedich
 Posted by on 29 octobre 2011
  • Galuel

    Oui !

    Il y a trois types de réponses possibles :

    Cherchons nous comme réponse la réponse A) B) C) ou D), ou bien choisissons nous comme réponse le contenu de A) B) C) ou D) soit dans ce cas uniquement 3 réponses possibles : 25%, 50% ou 60%.

    C'est cela qui crée la confusion. C'est comme le problème de l'étudiant découvrant les variables "x,a,b,c", dont il n'arrive pas à comprendre pourquoi on remplace des nombres connus par ces nombres, alors qu'un étudiant chevronné n'a pas ce problème.

    Ainsi on on peut trouver la solution en terme de variable à ax²+bx+c en terme de x dépendant de (a,b,c), mais pour des valeurs précises de (a,b et c) où l'une et l'autre variables (a,b, ou c) dépendent l'une de l'autre, et dans ce cas cela pourrait ne dépendre que de "a" par exemple, ou être une valeur réelle indépendamment de a,b ou c, mais connaissant par exemple que b² - 4ac = 0 et que a=b sans pour autant connaître a...

    Il faut donc préciser si on répond la variable, ou bien son contenu en terme de "bonne réponse" !

    A) B) C) et D) ont toutes 1/4 = 25% de chances d'être trouvées.

    I) Si donc il s'agit de trouver la bonne réponse en terme de variable A) B) C) ou D) la bonne réponse est A) ou D) et est correcte. Il y a bien en effet 25% de chances de tomber sur A) comme sur D).

    S = { 25% }

    II) Si par contre il s'agit de trouver comme bonne réponse "Le contenu de la variable comme étant égal à la probabilité de tirer au sort le contenu de cette variable"

    25% est trouvé 2/4 = 50%  de chances différent de leur contenu
    50% est trouvé avec 50% avec 1/4 = 25% de chances
    60% avec 1/4 = 25% de chances

    Aucun contenu de variable n'est donc trouvé avec une probabilité qui lui soit égal

    S = {0}

    III) Si par contre la réponse cherchée est "le contenu de la variable A) B) C) ou D) égale à celle d'obtenir une bonne réponse selon I) (une réponse dans un sous-ensemble quelconque, limité ici arbitrairement aux contenus de A) B) C) ou D) ).

    Dans ce cas la probabilité cherchée est le contenu de B) = 50%, qui est la seule réponse contenue dans les contenus de A) B) C) ou D) (univers de réponse arbitrairement limité) donnant une probabilité correcte de trouver le contenu "25%"

    S = { 50% }

    Ainsi donc parce qu'on défini l'univers des réponses comme étant de même forme que l'univers des questions, on peut créer la confusion.

    Parce qu'on a des contenus qui servent à la fois d'objets et de réponse. Tandis que si on avait mis comme contenu des variables "rouge" "jaune" "vert" et "rouge" on aurait pas pu créer de confusion.

    En informatique on fera le parallèle pour la transformation possible mais uniquement dans certains cas d'une chaîne de caractères "999" en le nombre 999, qui sont deux objets différents pouvant être traités différemment par un programme selon le type qu'on lui associe.

    Mais si on distingue l'univers des réponses et l'univers des questions, quant bien même ils sont de même forme, on n'a plus de confusion possible.

    Ce qu'il faut bien comprendre de façon profonde c'est que la vérité, le fait qu'une assertion soit vraie n'a pas de sens en soit. Cela dépend de l'Univers logique de référence dans lequel l'assertion s'exprime. Ainsi l'assertion "deux droites parallèles peuvent se couper" n'a pas la même réponse en géométrie euclidienne ou non-euclidienne, parce que la définition de ce qu'est une droite et un espace est différente selon que l'on raisonne dans un modèle ou dans l'autre.

    Donc la première étape pour pouvoir répondre à une question est de se mettre d'accord sur le modèle théorique conceptuel dans lequel on prétend y répondre.

    • http://goutte-de-science.net/blog Florian Longueteau

      Merci pour vos éclaircissements, je pense y voir beaucoup plus clair maintenant.

      Du coup, on peut complexifier à volonté le problème, au augmentant d'un degré la référence aux questions. Par exemple, en modifiant la proposition A) de la manière suivante :
      A) La bonne réponse est la D)
      B) 50%
      C) 60%
      D) 25%

  • http://goutte-de-science.net/blog Florian Longueteau

    Pour continuer sur une énigme moins paradoxale mais avec des références croisées dans les propositions, voici un problème posé par Xavier Caruso (son site http://perso.univ-rennes1.fr/xavier.caruso/)  : " Quel est ce nombre " - Image des mathématiques, CNRS, 2011 - http://images.math.cnrs.fr/Quel-est-ce-nombre.html.

  • Pierre-François Culand

    Bonjour, je ne suis pas un expert logicien, ni même un expert en mathématiques ou en probabilités. Je ne suis qu'un modeste ingénieur informaticien qui aime les petits problèmes de logique de ce genre. Simplement je suis très étonné que ce problème pose tant de soucis aux gens qui en parlent... Il ne me parait nullement s'agir d'un sophisme ou d'un paradoxe. Je le considérerais même (sans arrogance) comme un problème trivial...

    Je reprends d'abord l'énoncé en acceptant votre traduction. Moi j'avais traduis d'une manière qui me semble un peu plus proche de l'énoncé anglais, mais ne chipotons pas, cela ne change rien. Voici ma traduction:

    Si vous choisissez au hasard une réponse à cette question, quelles sont vos chances de répondre correctement ?
    A) 25%
    B) 50%
    C) 60%
    D) 25%

    Alors voici mon raisonnement:

    Pour moi il n'y a aucune ambiguïté dans cette question, la réponse correcte est: 0%.

    Il y a quatre réponses proposées dont aucune n'est la bonne.

    Il faut raisonner par hypothèse et éliminer les solutions incorrectes par l'absurde.

    Si je suppose que la réponse correcte est 25% - options A) ou D) - on
    constate qu'il y a deux options sur quatre qui proposent cette réponse,
    donc on a 50% de chance de la donner. Or, 50% 25% ce qui implique
    que mon hypothèse de départ est invalide. 25% n'est donc pas la bonne
    réponse.

    On peut faire le même raisonnement pour la réponse 50% - option B) -
    ou pour la réponse 60% - option C) - qui ont toutes deux 25% de chances d'être
    choisies. Elles ne sont donc pas correctes non plus.

    La réponse correcte ne figure donc pas dans les 4 options proposées, ce que rien n'interdit dans l'énoncé.

    On doit donc simplement répondre que l'on a 0% de chances de donner
    une réponse correcte en choisissant une réponse au hasard parmi ces 4
    options de réponse proposées. Point.

    Pour moi c'est aussi simple que ça, il ne s'agit nullement d'un énoncé ambigu et encore moins d'un sophisme ou d'un paradoxe.

    Je me tue à expliquer cela à mes amis qui prétendent que je me trompe et qu'il s'agit d'un problème paradoxal ou d'un sophisme, et qu'il n'y a pas de solution.

    Le seul "piège" de l'énoncé est que dans les options proposées deux sont identiques.

    Et alors ?

    On peut juste observer que si ce n'était pas le cas, si on changeait
    la valeur de la réponse D), par exemple, pour la remplacer par n'importe
    quelle autre valeur, mettons par exemple 17%, la réponse à la question
    posée serait alors 25% car à chaque fois que l'on choisirait l'option A)
    - soit dans 25% des tentatives - on obtiendrait bien une réponse de
    25%. 25% = 25%, la réponse serait alors bien correcte.

    Mais pour ce qui est de la question posée, on nous demande simplement de dire quelle probabilité on a de répondre correctement en choisissant une des 4 options de réponse au hasard. On a démontré (sans ambiguïté aucune) qu'aucune de ces réponses n'est correcte. On a donc aucune chance de choisir une réponse correcte. La réponse à la question qu'on nous pose est 0%. Cette réponse n'est pas dans les options proposées ? Et alors ? Qu'est-ce qui l'interdirait ?
     

    Les "élucubrations" (pardon) de logiciens que j'ai lues
    sur le net notamment dans les liens que vous proposez me paraissent complètement absurdes et hors de propos. Pour moi le problème est
    trivial il suffit de bien répondre à la question posée.

    Pierre-François Culand
    Lausanne, Suisse

    • Pierre-François Culand

      J'ai envie de complèter ma réponse ainsi, ce qui ira un peu dans le sens
      de ceux qui considèrent que le problème est impossible... (Bien que je
      n'adhère pas vraiment à cette thèse)

      En fait c'est un peu comme si on demandait

      Combien font 2 x 3 ?
      A) 4
      B) 5
      C) 7
      D) 8

      La réponse correcte est 6, je réponds 6 à la question.

      Maintenant si
      on me demande de cocher la ou les réponses correctes (comme dans les QCM
      de l'examen théorique du permis de conduire - en Suisse- où l'on nous précise bien de cocher
      toutes les réponses correctes et uniquement les réponses correctes) je
      ne coche aucune réponse car aucune n'est correcte.

      Et si c'est un formulaire informatique et que je n'ai que les 4
      boutons pour répondre et que je ne peux pas faire autrement qu'en
      choisir un, alors là d'accord on peut dire que le problème devient
      impossible...

      Mais cela vient de la limitation de l'espace des solutions
      induite par le système de collection de la réponse. Pas par la question
      elle-même. Même si le système de collection d'une réponse fait en effet
      partie de la question ! Il n'est cependant pas suffisamment décrit dans
      cet énoncé pour qu'on puisse dire qu'on ne peut répondre à la question
      qu'on nous pose qu'en choisissant une et une seule des 4 options. On
      nous demande seulement une probabilité de répondre correctement en
      choisissant au hasard une des options. Moi je ne me considère pas comme
      limité pour répondre à la question en choisissant uniquement une réponse
      parmi les 4 options proposées.

      Le vrai dilemne et la différence de compréhension
      du problème selon les lecteurs est peut-être là. Seuls les esprits
      peut-être un peu "rigides", "dociles" et "obéissants" qui considèrent
      qu'on ne peut répondre à la question posée qu'en choisissant une et une
      seule des 4 options sont mis en difficulté pour résoudre cette énigme.

      En fait on pourrait même être encore plus proche de l'énigme proposée en proposant celle-ci:

      Combien font 2 x 3 ?
      A) Pomme
      B) Téléphone
      C) Yoghourt
      D) Phoenix

      Un esprit soumis se grattera la tête...

      Un esprit plus ouvert éclatera de rire et dira, question idiote, la réponse est 6, banane !

      :))

      • http://goutte-de-science.net/blog Florian Longueteau

        Bonjour,

        merci pour votre argumentation détaillées et vos explications édifiantes. Un peu surpris par le ton de votre premier message, j'ai ri à votre second.

        Il n'y a effectivement aucun motif pour faire une affaire d'état et d'épiloguer éternellement sur la façon dont il fallait comprendre la question.
        Si on la comprend effectivement comme vous l'entendez, vous avez raison : pas de paradoxes, simplement une bonne blague un peu absurdre. Si on accepte que l'énoncé implique implicitement un choix exclusif entre les 4 options proposées alors la discussion demeure.

        En tout cas merci d'avoir exprimé votre point de vue avec clarté.

      • http://www.thelovemoney.us red eagle nation navajo

        excellent raisonnement

  • Pierre-François Culand

    J'ai envie de complèter ma réponse ainsi, ce qui ira un peu dans le sens de ceux qui considèrent que le problème est impossible... (Bien que je n'adhère pas vraiment à cette thèse)

    En fait c'est un peu comme si on demandait

    Combien font 2 x 3 ?A) 4B) 5C) 7D) 8

    La réponse correcte est 6, je réponds 6 à la question.

    Maintenant si
    on me demande de cocher la ou les réponses correctes (comme dans les QCM
    de l'examen théorique du permis de conduire - en Suisse- où l'on nous précise bien de cocher
    toutes les réponses correctes et uniquement les réponses correctes) je
    ne coche aucune réponse car aucune n'est correcte.

    Et si c'est un formulaire informatique et que je n'ai que les 4
    boutons pour répondre et que je ne peux pas faire autrement qu'en
    choisir un, alors là d'accord on peut dire que le problème devient
    impossible...

    Mais cela vient de la limitation de l'espace des solutions
    induite par le système de collection de la réponse. Pas par la question
    elle-même. Même si le système de collection d'une réponse fait en effet
    partie de la question ! Il n'est cependant pas suffisamment décrit dans
    cet énoncé pour qu'on puisse dire qu'on ne peut répondre à la question
    qu'on nous pose qu'en choisissant une et une seule des 4 options. On
    nous demande seulement une probabilité de répondre correctement en
    choisissant au hasard une des options. Moi je ne me considère pas comme
    limité pour répondre à la question en choisissant uniquement une réponse
    parmi les 4 options proposées.

    Le vrai dilemne et la différence de compréhension
    du problème selon les lecteurs est peut-être là. Seuls les esprits
    peut-être un peu "rigides", "dociles" et "obéissants" qui considèrent
    qu'on ne peut répondre à la question posée qu'en choisissant une et une
    seule des 4 options sont mis en difficulté pour résoudre cette énigme.

    En fait on pourrait même être encore plus proche de l'énigme proposée en proposant celle-ci:

    Combien font 2 x 3 ?A) PommeB) TéléphoneC) YoghourtD) Phoenix

    Un esprit soumis se grattera la tête...

    Un esprit plus ouvert éclatera de rire et dira, question idiote, la réponse est 6, banane !

    :))

  • Le_bennou

    je crois que vous avez tous oublié un détail : il n'y a pas de réponse à la question!

    La question pointe sur elle même, elle demande la probabilité d'avoir juste en répondant au hasard à la probabilité d'avoir juste en répondant à la question au hasard à la probabilité d'avoir juste.........

    en fait il n'y a pas de question.

    les réponse pourraient être
    A) chine
    B ) frigo
    C ) néant
    D) la réponse E)

    cela reviendrait au même

    • zoulou

      donc ça revient à dire o chance d'avoir la bonne réponse non?

  • Noreply

    Il est possible d'accentuer encore la confusion d'une manière très simple.
    Le fait qu'il n'y ait pas de réponse correcte amène au fait que l'on puisse en conclure que l'on ait aucune chance de sélectionner la bonne réponse par hasard, soit 0%.
    Il suffit dont de remplacer les 60% de la réponse C par un 0% de sorte que l'impossibilité de répondre entre aussi dans les réponses possible et s'annule d'elle même.

  • Tony Siix

    le truc est trop simple pour que l'humain puisse y répondre sans se poser multitude questions. La question propose quatre choix, donc la réponse est forcement 25% dans son imtime conviction vu que le sens est dans sa question, soyons logique. Le paradoxe ne tient que par sa question sinon il est futile.